设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccccc}2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 4 & -6 & 2 & -2 & 4 \\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9\end{array}\right)$, 求矩阵 $A$ 的 列向量组的一个最大无关组,并把不属于最大无关组的列向量 用最大无关组线性表示.
【答案】 【参考解析】即矩阵的列向量为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$, 即 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5\right)$. 对矩阵 $A$ 作行的初等变换,得到 行的阶梯形矩阵:
$$
A \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\
0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$

从而有 $r(A)=3$ ,即列向量的最大无关组有 3 个向量,由于 三个非零行的首非零元出现在 1,2,4 列,所以 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ 构 成矩阵 $A$ 列向量组的一个最大无关组。
再将矩阵变换成行的最简形矩阵,即有
$$
A \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & -1 & 0 & 4 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$
由此可得 $\alpha_3=-\alpha_1-\alpha_2, \alpha_5=4 \alpha_1+3 \alpha_2-3 \alpha_4$.


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