已知 $A$ 是 $2 n+1$ 阶正交矩阵,即 $A A^T=A^T A=E$. 证明 : $\left|E-A^2\right|=0$.
【答案】 【参考证明】: 由行列式的乘法公式,
$$
|A|^2=|A| \cdot\left|A^T\right|=\left|A A^T\right|=|E|=1 .
$$
(1)如果 $|A|=1$ ,那么
$$
\begin{aligned}
&|E-A|=\left|A A^T-A\right|=\left|A\left(A^T-E^T\right)\right| \\
&= A|A-E|=|-(E-A)| \\
&=(-1)^{2 n+1}|E-A|=-|E-A| \\
& \text { 从而 }|E-A|=0 .
\end{aligned}
$$

(1)如果 $|\boldsymbol{A}|=-1$ ,那么
$$
\begin{aligned}
& |E+A|=\left|A A^T+A\right|=\left|A\left(A^T+E^T\right)\right| \\
= & |A||A+E|=-|E+A| .
\end{aligned}
$$
从而 $|E+A|=0$.
所以不论 $|A|=1$ 或 $|\boldsymbol{A}|=-1$ ,都有
$$
\left|E-A^2\right|=|(E-A)(E+A)|=|E-A| \cdot|E+A|=0 .
$$


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