已知 $\alpha_1=(1,1,1)^T$ ,求一组非零向量 $\alpha_2, \alpha_3$ ,使得 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 两两正交.
【答案】 【参考解析】设 $x=\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 与向量 $\alpha_1$ 正交,则有
$$
x \cdot \alpha_1=x_1+x_2+x_3=0
$$
关于 $x_1, x_2, x_3$ 变量的方程的基础解析可以取为
$$
\xi_1=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \xi_2=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
1
\end{array}\right)
$$
把基础解系正交化,由施密特正交化方法,取
$$
\alpha_2=\xi_1=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
0
\end{array}\right)
$$

$$
\alpha_3=\xi_2-\frac{\left[\xi_1, \xi_2\right]}{\left[\xi_1, \xi_1\right]} \xi_1=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
1
\end{array}\right)-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
0
\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}
-1 \\
-1 \\
2
\end{array}\right)
$$
因为 $\alpha_2, \alpha_3$ 是 $\xi_1, \xi_2$ 的线性组合,所以它们都与 $\alpha_1$ 正交,即 上面所取的 $\alpha_2, \alpha_3$ 为所求使得 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 两两正交的向量.


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