单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 二阶可导，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-1}{x^2}=\frac{1}{4}, \alpha=\int_0^{\frac{{e^x}^2-1}{1+2 x}} \frac{1-\sqrt{\cos t}}{\sin t} d t, \beta=f(x)-f(\sin x)$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时
$\text{A.}$ $\alpha$ 是 $\beta$ 的高阶无穷小
$\text{B.}$ $\alpha$ 是 $\beta$ 的低阶无穷小
$\text{C.}$ $\alpha$ 是 $\beta$ 的同阶非等价的无穷小
$\text{D.}$ $\alpha$ 与 $\beta$ 是等价无穷小
设 $f(x)=\frac{\left|x^3+x^2-2 x\right| \cdot|\ln | x| |}{x^2-1} e ^{\frac{1}{x-2}}$ ，则（ ）。
$\text{A.}$ $f(x)$ 有 1 个可去间断点， 2 个跳跃间断点， 1 个第二类间断点
$\text{B.}$ $f(x)$ 有 2 个可去间断点， 1 个跳跃间断点， 1 个第二类间断点
$\text{C.}$ $f(x)$ 有 2 个可去间断点， 2 个跳跃间断点，没有第二类间断点
$\text{D.}$ $f(x)$ 有 3 个可去间断点， 1 个第二类间断点
设 $I=\int_0^1 \ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right) d x, J=\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} d x, K=\int_0^1 \arctan x d x$, 则 ( )
$\text{A.}$ $I < J < K$
$\text{B.}$ $K < J < I$
$\text{C.}$ $I < K < J$
$\text{D.}$ $J < K < I$
设连续可偏导的函数 $f(x, y)$ 满足 $\lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-2 x-y+1}{(x-1)^2+y^2}=-1$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[f\left( e ^{2 x^2}, x \tan 2 x\right)\right]^{\frac{1}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1+\ln (1+x)}}}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $e ^6$
$\text{B.}$ $e^{12}$
$\text{C.}$ $e^{18}$
$\text{D.}$ $e ^{24}$
设 $A , B$ 为 3 阶矩阵，$r( B )=2$ 且 $2 B + A B = O$ ，且 $A$ 每行元素之和为 0 ，则与矩阵 $( A + E )^{*}-$ $3( E - A )^{-1}$ 相似的对角矩阵为（）．
$\text{A.}$ $- E$
$\text{B.}$ $-2 E$
$\text{C.}$ $E$
$\text{D.}$ $2 E$
下列命题正确的是
$\text{A.}$ 设 $A$ 为 3 阶矩阵，若 $A$ 的特征值 $\lambda_1 \lambda_2 \neq 0, \lambda_3=0$ ，则 $r( A )=2$
$\text{B.}$ 设 $A$ 为 3 阶非零矩阵，若 $A ^2= O$ ，则 $r( A )=1$
$\text{C.}$ 设 $A , B$ 为 3 阶矩阵，若 $A$ 与 $B$ 等价，则 $| A |=| B |$
$\text{D.}$ 设 $A , B$ 为 3 阶实对称矩阵，若 $A$ 与 $B$ 合同，则 $| A |=| B |$
设 $A$ 为 3 阶矩阵，且 $| A |>0, A ^* \sim\left(\begin{array}{ccc}-2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则 $r( E + A )+r( E - A )= $ ．
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
设 $X \sim\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ \frac{1}{4} & \frac{3}{4}\end{array}\right), Y \sim E(1)$ 且 $X, Y$ 相互独立，则 $P\{X+Y>2\}= $
$\text{A.}$ $\frac{ e ^2+3}{4 e ^3}$
$\text{B.}$ $\frac{3 e^2+1}{4 e^3}$
$\text{C.}$ $\frac{3 e ^2+1}{2 e ^3}$
$\text{D.}$ $\frac{ e ^2+3}{2 e ^3}$
设随机变量 $X \sim U(0,2), Y=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{X^n+X^{2 n}}$ ，则 $E(Y)=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\frac{7}{12}$
$\text{B.}$ $\frac{11}{12}$
$\text{C.}$ $\frac{15}{12}$
$\text{D.}$ $\frac{17}{12}$
设总体 $X \sim N(\mu, 1), Y \sim N(\mu, 1)$ ，且 $X, Y$ 相互独立，$X_1, X_2, X_3, \cdots, X_n$ 与 $Y_1, Y_2$ ， $Y_3, \cdots, Y_n$ 分别为来自总体 $X, Y$ 的简单随机样本，设
$$
\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, \bar{Y}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i, S_X^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, S_Y^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2
$$
则 $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\bar{Y})}{\sqrt{S_X^2+S_Y^2}}$ 服从（ ）。
$\text{A.}$ $t(n-1)$
$\text{B.}$ $t(n)$
$\text{C.}$ $t(2 n)$
$\text{D.}$ $t(2 n-2)$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant t^2\right\}$ ，又 $f(x)$ 连续且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=2$ ，则
$$
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(t) \iint_D e^{-x^2} \cos 2 y d \sigma}{\iint_D f\left(t-\sqrt{x^2+y^2}\right) d \sigma}=
$$
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{9 \pi}{4}} x|\sin x+\cos x|^3 d x=$
设 $L$ 为柱面 $x^2+(y-1)^2=1$ 与上半球面 $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$ 的交线，从 $z$ 轴正向往负向看为逆时针方向，则 $\oint_L y d x+2 z d y=$
曲线 $y=\frac{2 x^2+3 x-1}{x-1} e ^{\frac{1}{x}}$ 的斜渐近线为
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & a+1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$ ，且 $A , B$ 相似，则 $a=$ $\qquad$ ,$b=$
设总体 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right)$ ，且 $X_1, X_2, \cdots, X_{15}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，则统计量
$$
\sum_{i=1}^{10}(-1)^i X_i / \sqrt{2} \sqrt{\sum_{i=11}^{15} X_i^2} \sim
$$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $I(a, b)=\int_0^{2 \pi}(a \cos x-2 b \sin x)^2 d x$ ，在 $I(a, b) \leqslant 4 \pi$ 下，求使得 $a^2+4 b^2-2 a-b \leqslant$ $k$ 成立的 $k$ 的最小值．
讨论方程 $\frac{1}{x}-\frac{1}{ e ^x-1}=a$ 在 $(-\infty, 0)$ 与 $(0,+\infty)$ 内根的个数．
求 $x=\cos t(0 < t < \pi)$ 将方程 $\left(1-x^2\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0$ 化为 $y$ 关于 $t$ 的微分方程，并求满足 $\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ 的解。
计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} 2(1-x y) d y d z+(x+1) y d z d x-4 y z^2 d x d y
$$
其中 $\Sigma$ 是弧段 $\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{x-1}, \\ y=0,\end{array},(1 \leqslant x \leqslant 3)\right.$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转曲面，$\Sigma$ 上任一点的法向量与$x$轴正夹角大于 $\frac{\pi}{2}$ 。
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-2 x_2\right)^2+\left(x_2-x_3\right)^2+\left(x_1+a x_3\right)^2$ ．
（1）求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解；
（2）设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形为 $z_1^2+z_2^2$ ，求正交变换 $x=Q y$ ，使得二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化为标准形。
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x)= \begin{cases}2(x-\theta) e ^{-(x-\theta)^2}, & x>\theta,\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right) \text { 为来自总体 } \\ 0, & x \leqslant \theta,\end{cases}$ $X$ 的简单随机样本．
（1）求参数 $\theta$ 的矩估计量；
（2）设 $U=\min \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\}$ ，求 $E(U)$ ．