2023年汤家凤考前冲刺8套卷(数一)第一套试题与答案

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2023年汤家凤考前冲刺8套卷(数一)第一套试题与答案

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x)

二阶可导，且

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - 1}{x^{2}} = \frac{1}{4}, α = \int_{0}^{\frac{{e^{x}}^{2} - 1}{1 + 2 x}} \frac{1 - \sqrt{\cos t}}{\sin t} d t, β = f (x) - f (\sin x)

，则当

x \to 0

时

A.

α

是

β

的高阶无穷小

B.

α

是

β

的低阶无穷小

C.

α

是

β

的同阶非等价的无穷小

D.

α

与

β

是等价无穷小

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2. 设

f (x) = \frac{| x^{3} + x^{2} - 2 x | \cdot | \ln | x | |}{x^{2} - 1} e^{\frac{1}{x - 2}}

，则（）。

A.

f (x)

有 1 个可去间断点， 2 个跳跃间断点， 1 个第二类间断点

B.

f (x)

有 2 个可去间断点， 1 个跳跃间断点， 1 个第二类间断点

C.

f (x)

有 2 个可去间断点， 2 个跳跃间断点，没有第二类间断点

D.

f (x)

有 3 个可去间断点， 1 个第二类间断点

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3. 设

I = \int_{0}^{1} \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) d x, J = \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x, K = \int_{0}^{1} \arctan x d x

, 则 ( )

A.

I < J < K

B.

K < J < I

C.

I < K < J

D.

J < K < I

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4. 设连续可偏导的函数

f (x, y)

满足

lim_{\begin{matrix} x \to 1 \\ y \to 0 \end{matrix}} \frac{f (x, y) - 2 x - y + 1}{(x - 1)^{2} + y^{2}} = - 1

，则

lim_{x \to 0} {[f (e^{2 x^{2}}, x \tan 2 x)]}^{\frac{1}{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 + \ln (1 + x)}}} = ()

．

A.

e^{6}

B.

e^{12}

C.

e^{18}

D.

e^{24}

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5. 设

A, B

为 3 阶矩阵，

r (B) = 2

且

2 B + A B = O

，且

A

每行元素之和为 0 ，则与矩阵

(A + E)^{*} -

3 (E - A)^{- 1}

相似的对角矩阵为（）．

A.

- E

B.

- 2 E

C.

E

D.

2 E

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6. 下列命题正确的是

A.

设

A

为 3 阶矩阵，若

A

的特征值

λ_{1} λ_{2} \neq 0, λ_{3} = 0

，则

r (A) = 2

B.

设

A

为 3 阶非零矩阵，若

A^{2} = O

，则

r (A) = 1

C.

设

A, B

为 3 阶矩阵，若

A

与

B

等价，则

| A | = | B |

D.

设

A, B

为 3 阶实对称矩阵，若

A

与

B

合同，则

| A | = | B |

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7. 设

A

为 3 阶矩阵，且

| A | > 0, A^{*} \sim (\begin{array}{ccc} - 2 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

，则

r (E + A) + r (E - A) =

．

A.

B.

C.

D.

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8. 设

X \sim (\begin{array}{cc} - 1 & 1 \\ \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \end{array}), Y \sim E (1)

且

X, Y

相互独立，则

P {X + Y > 2} =

A.

\frac{e^{2} + 3}{4 e^{3}}

B.

\frac{3 e^{2} + 1}{4 e^{3}}

C.

\frac{3 e^{2} + 1}{2 e^{3}}

D.

\frac{e^{2} + 3}{2 e^{3}}

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9. 设随机变量

X \sim U (0, 2), Y = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{X^{n} + X^{2 n}}

，则

E (Y) = ()

．

A.

\frac{7}{12}

B.

\frac{11}{12}

C.

\frac{15}{12}

D.

\frac{17}{12}

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10. 设总体

X \sim N (μ, 1), Y \sim N (μ, 1)

，且

X, Y

相互独立，

X_{1}, X_{2}, X_{3}, \dots, X_{n}

与

Y_{1}, Y_{2}

，

Y_{3}, \dots, Y_{n}

分别为来自总体

X, Y

的简单随机样本，设

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}, \bar{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}, S_{X}^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}, S_{Y}^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(Y_{i} - \bar{Y})}^{2}

则

\frac{\sqrt{n} (\bar{X} - \bar{Y})}{\sqrt{S_{X}^{2} + S_{Y}^{2}}}

服从（）。

A.

t (n - 1)

B.

t (n)

C.

t (2 n)

D.

t (2 n - 2)

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 设区域

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} ⩽ t^{2}}

，又

f (x)

连续且

f (0) = 0, f^{'} (0) = 2

，则

lim_{t \to 0} \frac{f (t) \iint_{D} e^{- x^{2}} \cos 2 y d σ}{\iint_{D} f (t - \sqrt{x^{2} + y^{2}}) d σ} =

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12.

\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{9 π}{4}} x | \sin x + \cos x |^{3} d x =

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13. 设

L

为柱面

x^{2} + (y - 1)^{2} = 1

与上半球面

z = \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}

的交线，从

z

轴正向往负向看为逆时针方向，则

\oint_{L} y d x + 2 z d y =

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14. 曲线

y = \frac{2 x^{2} + 3 x - 1}{x - 1} e^{\frac{1}{x}}

的斜渐近线为

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15. 设矩阵

A = (\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 0 \\ 1 & - 1 & a + 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & b \end{array})

，且

A, B

相似，则

a =

b =

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16. 设总体

X \sim N (0, σ^{2})

，且

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{15}

为来自总体

X

的简单随机样本，则统计量

\sum_{i = 1}^{10} (- 1)^{i} X_{i} / \sqrt{2} \sqrt{\sum_{i = 11}^{15} X_{i}^{2}} \sim

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 设

I (a, b) = \int_{0}^{2 π} (a \cos x - 2 b \sin x)^{2} d x

，在

I (a, b) ⩽ 4 π

下，求使得

a^{2} + 4 b^{2} - 2 a - b ⩽

k

成立的

k

的最小值．

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18. 讨论方程

\frac{1}{x} - \frac{1}{e^{x} - 1} = a

在

(- \infty, 0)

与

(0, + \infty)

内根的个数．

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19. 求

x = \cos t (0 < t < π)

将方程

(1 - x^{2}) y^{''} - x y^{'} + y = 0

化为

y

关于

t

的微分方程，并求满足

{y |}_{x = 0} = 1, {y^{'} |}_{x = 0} = 2

的解。

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20. 计算曲面积分

I = \iint_{Σ} 2 (1 - x y) d y d z + (x + 1) y d z d x - 4 y z^{2} d x d y

其中

Σ

是弧段

{\begin{cases} z = \sqrt{x - 1}, \\ y = 0, \end{cases}, (1 ⩽ x ⩽ 3)

绕

x

轴旋转一周所得的旋转曲面，

Σ

上任一点的法向量与

x

轴正夹角大于

\frac{π}{2}

。

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21. 设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = {(x_{1} - 2 x_{2})}^{2} + {(x_{2} - x_{3})}^{2} + {(x_{1} + a x_{3})}^{2}

．
（1）求

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 0

的解；
（2）设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3})

的规范形为

z_{1}^{2} + z_{2}^{2}

，求正交变换

x = Q y

，使得二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3})

化为标准形。

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22. 设总体

X

的概率密度为

f (x) = {\begin{cases} 2 (x - θ) e^{- (x - θ)^{2}}, & x > θ, (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}) 为来自总体 \\ 0, & x ⩽ θ, \end{cases}

X

的简单随机样本．
（1）求参数

θ

的矩估计量；
（2）设

U = min {X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}}

，求

E (U)

．

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