单选题 (共 8 题 ),每题只有一个选项正确
在复平面内, 复数 $Z=i^{2024}+i^{2025}$, 则 $\bar{Z}$ 的虚部为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ i
$\text{D.}$ $-i$
已知 $a , b$ 为单位向量, 且 $a$ 在 $b$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} b$, 则 $| a -2 b |=$
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ $\sqrt{5}$
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$
已知函数 $f(x)=\sin (x-1)+x$, 若 $f(a)+f(b)=2$, 则 $a+b=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ -2
在 $\triangle A B C$ 中, $\tan A+\tan B+\tan A \tan B=1$, 则 $\cos C=$
$\text{A.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $a_n>0$, 若 $S_5=5, S_{15}=105$, 则 $S_{20}=$
$\text{A.}$ 550
$\text{B.}$ 520
$\text{C.}$ 450
$\text{D.}$ 425
下列不等关系正确的是
$\text{A.}$ $\ln \frac{1}{2} < 2^{\frac{1}{2}} < \sin \frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\sin 1 < \cos 1 < \tan 1$
$\text{C.}$ $\sqrt{8}-\sqrt{7} < \sqrt{7}-\sqrt{6} < \sqrt{6}-\sqrt{5}$
$\text{D.}$ $\log _2 3 < \log _3 4 < \log _4 5$
已知函数 $f(x)=\sin \omega x+\cos \omega x(\omega>0)$ 的图象的一条对称轴是 $x=2 \pi$, 且 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上恰有两个根, 则 $\omega$ 的最大值是
$\text{A.}$ $\frac{45}{8}$
$\text{B.}$ $\frac{41}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{37}{8}$
$\text{D.}$ $\frac{29}{8}$
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 点 $P\left(x_1, y_1\right)$ 是 $C$ 上的一点, $\triangle P F_1 F_2$的内切圆圆心为 $Q\left(x_2, y_2\right)$, 若 $x_1=2, x_2=\sqrt{3}$, 则 $C$ 的离心率为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{3}-1$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ $2-\sqrt{3}$
多选题 (共 3 题 ),每题有多个选项正确
云南的鲜花饼不仅是一种美味的糕点, 更是一件艺术品, 它表达了人们对生活的热爱, 可以让人们在繁忙的都市生活中, 感受春天的味道. 因此, 三朵敛瑰一个饼, 深受人们的喜爱. 由于现烤鲜花饼的保质期较短, 为了提升品质, 能让顾客吃到更新鲜的饼,某商店老板统计了该商店六月份整个月的销售量, 如下表:
则对该商店的描述正确的是
$\text{A.}$ 该商店六月份鲜花饼日销售量的第 $70 \%$ 分位数是 550
$\text{B.}$ 该商店六月份平均每天销售鲜花饼 500 个 (同一组数据用该组区间中点值为代表)
$\text{C.}$ 若当天准备 550 个鲜花饼,则全部售完的概率为 $\frac{2}{3}$
$\text{D.}$ 若当天准备 450 个鲜花饼,则没有全部售完的概率为 $\frac{2}{5}$
数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}+2 a_n a_{n+1}-a_n=0\left(n \in N ^*\right), a_1=1$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $b_n=3^{\frac{1}{a_n}}$, 则 $\left\{b_n\right\}$ 为等比数列
$\text{B.}$ 若 $c_n=\frac{1}{n}\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}\right)$, 则 $\left\{c_n\right\}$ 为等差数列
$\text{C.}$ $a_n=2 n-1$
$\text{D.}$ $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_{2 n-1}}=\frac{2 n-1}{a_n}$
如图, 在四棱锥 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 为直角梯形, $P A \perp$ 平面 $A B C D, P A=A B=A D=2 C D=$ 4, $A B / / C D, A B \perp A D$, 已知点 $M$ 在平面 $P A D$ 上运动, 点 $H$ 在平面 $A B C D$ 上运动, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ 若点 $H$ 到 $C D$ 的距离等于其到平面 $P A B$ 的距离, 则点 $H$ 的轨迹为抛物线的一部分
$\text{B.}$ 若 $\angle B M A=\angle C M D$, 则点 $M$ 的轨迹为圆的一部分
$\text{C.}$ 若 $B M$ 与 $B D$ 所成的角为 $30^{\circ}$, 则点 $M$ 的轨迹为椭圆的一部分
$\text{D.}$ 若 $C M$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $30^{\circ}$, 则点 $M$ 的轨迹为双曲线的一部分
填空题 (共 3 题 ),请把答案直接填写在答题纸上
集合 $A=\left\{\left.\frac{15}{x+2} \in Z \right\rvert\, x \in N ^*\right\}$, 则 $A$ 的真子集个数为 $\qquad$个。
若曲线 $y=\ln (x-2)+4$ 在 $x=3$ 处的切线也是曲线 $y=x^2-x+a$ 的切线, 则 $a=$
在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 已知 $c=1, \frac{\sin B}{\sin A}=b^2-a^2+1$, 且 $a \neq b$, 则 $\sin B-\sin A$ 的最大值为
解答题 (共 5 题 ),解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
近几年, 我国促进新能源汽车产业发展的政策频出, 积极推动新能源汽车市场的迅速发展. 某新能源汽车公司为了解其对 $A$ 型充电桩进行投资后所获得的利润 $y$ (单位: 百万元) 关于投资金额 $x$ (单位: 百万元) 之间的关系, 统计后得到 10 组样本数据, 根据统计数据计算得到 $\sum_{i=1}^{10} y_i=40, \sum_{i=1}^{10} x_i$ $=70$, 利润的方差 $S_y^2=3.6$, 投资金额的方差 $S_x^2=12$, 以及样本相关系数 $r=0.96$.
(1) 根据样本相关系数 $r$ 判断利润 $y$ 与投资 $x$ 的相关性强弱, 并求出 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程(精确到 0.01 );
(2) 为了解使用 $A$ 型充电桩的车主性别与使用满意度 (分为满意与不满意) 的情况, 该公司又随机调查了该地区 150 名使用 $A$ 型充电桩的车主, 其中男性车主有 60 名对 $A$ 型充电桩的使用表示满意, 有 30 名对 $A$ 型充电桩的使用表示不满意;女性车主中有 $60 \%$ 对 $A$ 型充电桩的使用表示满意。将频率视为概率, 用样本估计总体. 已知该地区一位车主对 $A$ 型充电桩的使用表示满意, 求这位车主是男性的概率.
附: (i) 样本相关系数 $r=\frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n\left(y_i-\bar{y}\right)^2}}$, 当 $|r| \in[0.75,1]$ 时, 相关性较强, 当 $|r| \in$ $[0.3,0.75)$ 时, 相关性一般;
(ii) 经验回归方程 $\hat{y}=\hat{a}+\hat{b} x$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2}, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}$;
(iii) $\sqrt{30} \approx 5.477$.
已知 $\left\{a_n\right\}$ 是正项递增的等比数列, 且 $a_2 a_6=64, a_3+a_5=20$. 数列 $\left\{b_n\right\}$ 是等差数列, 且 $(n+1) b_n=$ $2 n^2+n+C$.
(1) 分别求数列 $\left\{a_n\right\}$ 和数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 设 $c_n=(-1)^n a_n+\frac{1}{b_n b_{n+1}}$, 求数列 $\left\{c_n\right\}$ 前 $n$ 项和 $S_n$.
如图, 在四棱台 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, 底面 $A B C D$ 为等腰梯形, $A D / / B C$, 平面 $A D D_1 A_1 \perp$ 平面 $A B C D$, 平面 $A B B_1 A_1 \perp$ 平面 $A B C D$.
(1) 证明: $A A_1 \perp$ 平面 $A B C$;
(2) 若 $A B=A D=A A_1=4, A_1 B_1=2, \angle B A D=120^{\circ}$, 求平面 $A_1 B C_1$ 与平面 $D B C_1$ 夹角的余弦值.
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 且焦距为 4 , 左顶点为 $E$, 过右焦点 $F_2$ 的动直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点, 当 $l$ 垂直于 $x$ 轴时, $|A B|=6$.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 若动直线 $l$ 与 $C$ 的左支交于点 $A$, 右支交于点 $B$, 求 $\frac{S_{\triangle A E F}}{S_{\triangle B E F_2}}$ 的取值范围.
设 $y=f(x)$ 是定义域为 $D$ 且图象连续不断的函数, 若存在区间 $[a, b] \subseteq D$ 和 $x_0 \in(a, b)$, 使得 $y=f(x)$在 $\left[a, x_0\right)$ 上单调递增, 在 $\left(x_0, b\right]$ 上单调递减, 则称 $y=f(x)$ 为 "山峰函数", $x_0$ 为 "峰点", $[a, b]$ 称为 $y$ $=f(x)$ 的一个"峰值区间".
(1) 判断 $g(x)=x^2+\cos x$ 是否是 "山峰函数"? 若是,请指出它的一个"峰值区间";若不是,请说明理由;
(2) 已知 $m>1, h(x)=(m+2) x-x^2-m^x$ 是"山峰函数", 且 [0,1] 是它的一个"峰值区间", 求 $m$ 的取值范围;
(3) 设 $n \in R$, 函数 $I(x)=\left[x^3-2 n x^2+(4 n-4) x\right] \ln x-\frac{1}{3} x^3+n x^2-(4 n-4) x$. 设函数 $y=I(x)$ 是 "山峰函数", $[s, t]$ 是它的一个 "峰值区间", 并记 $t-s$ 的最大值为 $d(n)$. 若 $I\left(\frac{2}{3}\right) < 0$, 且 $I\left(\frac{2}{3}\right) \leqslant I(1), I\left(\frac{3}{2}\right)$ $\leqslant I(1)$, 求 $d(n)$ 的最小值. (参考数据: $\left.\ln \frac{3}{2} \approx 0.4\right)$