数学试题讲解

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设

y = f (x)

是定义域为

D

且图象连续不断的函数, 若存在区间

[a, b] \subseteq D

和

x_{0} \in (a, b)

, 使得

y = f (x)

在

[a, x_{0})

上单调递增, 在

(x_{0}, b]

上单调递减, 则称

y = f (x)

为 "山峰函数",

x_{0}

为 "峰点",

[a, b]

称为

y

= f (x)

的一个"峰值区间".
(1) 判断

g (x) = x^{2} + \cos x

是否是 "山峰函数"? 若是，请指出它的一个"峰值区间"；若不是，请说明理由；
(2) 已知

m > 1, h (x) = (m + 2) x - x^{2} - m^{x}

是"山峰函数", 且 [0,1] 是它的一个"峰值区间", 求

m

的取值范围；
(3) 设

n \in R

, 函数

I (x) = [x^{3} - 2 n x^{2} + (4 n - 4) x] \ln x - \frac{1}{3} x^{3} + n x^{2} - (4 n - 4) x

. 设函数

y = I (x)

是 "山峰函数",

[s, t]

是它的一个 "峰值区间", 并记

t - s

的最大值为

d (n)

. 若

I (\frac{2}{3}) < 0

, 且

I (\frac{2}{3}) ⩽ I (1), I (\frac{3}{2})

⩽ I (1)

, 求

d (n)

的最小值. (参考数据:

\ln \frac{3}{2} \approx 0.4)