设 $y=f(x)$ 是定义域为 $D$ 且图象连续不断的函数, 若存在区间 $[a, b] \subseteq D$ 和 $x_0 \in(a, b)$, 使得 $y=f(x)$在 $\left[a, x_0\right)$ 上单调递增, 在 $\left(x_0, b\right]$ 上单调递减, 则称 $y=f(x)$ 为 "山峰函数", $x_0$ 为 "峰点", $[a, b]$ 称为 $y$ $=f(x)$ 的一个"峰值区间".
(1) 判断 $g(x)=x^2+\cos x$ 是否是 "山峰函数"? 若是，请指出它的一个"峰值区间"；若不是，请说明理由；
(2) 已知 $m>1, h(x)=(m+2) x-x^2-m^x$ 是"山峰函数", 且 [0,1] 是它的一个"峰值区间", 求 $m$ 的取值范围；
(3) 设 $n \in R$, 函数 $I(x)=\left[x^3-2 n x^2+(4 n-4) x\right] \ln x-\frac{1}{3} x^3+n x^2-(4 n-4) x$. 设函数 $y=I(x)$ 是 "山峰函数", $[s, t]$ 是它的一个 "峰值区间", 并记 $t-s$ 的最大值为 $d(n)$. 若 $I\left(\frac{2}{3}\right) < 0$, 且 $I\left(\frac{2}{3}\right) \leqslant I(1), I\left(\frac{3}{2}\right)$ $\leqslant I(1)$, 求 $d(n)$ 的最小值. (参考数据: $\left.\ln \frac{3}{2} \approx 0.4\right)$