数学试题讲解

近几年, 我国促进新能源汽车产业发展的政策频出, 积极推动新能源汽车市场的迅速发展. 某新能源汽车公司为了解其对

A

型充电桩进行投资后所获得的利润

y

(单位: 百万元) 关于投资金额

x

(单位: 百万元) 之间的关系, 统计后得到 10 组样本数据, 根据统计数据计算得到

\sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 40, \sum_{i = 1}^{10} x_{i}

= 70

, 利润的方差

S_{y}^{2} = 3.6

, 投资金额的方差

S_{x}^{2} = 12

, 以及样本相关系数

r = 0.96

.
(1) 根据样本相关系数

r

判断利润

y

与投资

x

的相关性强弱, 并求出

y

关于

x

的经验回归方程（精确到 0.01 ）;
(2) 为了解使用

A

型充电桩的车主性别与使用满意度 (分为满意与不满意) 的情况, 该公司又随机调查了该地区 150 名使用

A

型充电桩的车主, 其中男性车主有 60 名对

A

型充电桩的使用表示满意, 有 30 名对

A

型充电桩的使用表示不满意；女性车主中有

60 %

对

A

型充电桩的使用表示满意。将频率视为概率, 用样本估计总体. 已知该地区一位车主对

A

型充电桩的使用表示满意, 求这位车主是男性的概率.

附: (i) 样本相关系数

r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}

, 当

| r | \in [0.75, 1]

时, 相关性较强, 当

| r | \in

[0.3, 0.75)

时, 相关性一般;
(ii) 经验回归方程

\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x

中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}

;
(iii)

\sqrt{30} \approx 5.477