如图, 在四棱台 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, 底面 $A B C D$ 为等腰梯形, $A D / / B C$, 平面 $A D D_1 A_1 \perp$ 平面 $A B C D$, 平面 $A B B_1 A_1 \perp$ 平面 $A B C D$.
(1) 证明: $A A_1 \perp$ 平面 $A B C$;
(2) 若 $A B=A D=A A_1=4, A_1 B_1=2, \angle B A D=120^{\circ}$, 求平面 $A_1 B C_1$ 与平面 $D B C_1$ 夹角的余弦值.