单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A 、 B 、 C$ 为随机事件, $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}$, $P(A B)=P(B C)=P(A C)=\frac{1}{6}, P(A \cup B \cup C)=\frac{3}{8}$, 则 $P(C \mid A B)=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{16}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$.
设一批零件的长度服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，其中 $\mu, \sigma^2$ 均末知，现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值 $\bar{x}=20(cm)$ ，样本标准差 $s=1(cm)$ 。则 $\mu$ 的置信度为 0.90 的置信区间是（）。
$\text{A.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.05}(16), \quad 20+\frac{1}{4} t_{0.05}(16)\right)$
$\text{B.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.1}(16), \quad 20+\frac{1}{4} t_{0.1}(16)\right)$
$\text{C.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.05}(15), \quad 20+\frac{1}{4} t_{0.05}(15)\right)$
$\text{D.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.1}\right.$（15）， $20+\frac{1}{4} t_{0.1}$（15））
总体是 $X,\left(X_1, X_2\right)$ 是简单随机样本，下列都是总体的数学期望的无偏估计量，其中最有效的是：（ ）
$\text{A.}$ $0.9 X_1+0.1 X_2$
$\text{B.}$ $0.8 X_1+0.2 X_2$
$\text{C.}$ $0.7 X_1+0.3 X_2$
$\text{D.}$ $0.6 X_1+0.4 X_2$
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立并且服从同一分布，其中 $\sigma^2>0, \bar{X}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ，则 ．
$\text{A.}$ $\operatorname{cov}\left(X_1, \bar{X}\right)=\frac{\sigma^2}{n}$ ；
$\text{B.}$ $\operatorname{cov}\left(X_1, \bar{X}\right)=\sigma^2$ ；
$\text{C.}$ $D\left(X_1+\bar{X}\right)=\frac{n+2}{n} \sigma^2$ ；
$\text{D.}$ $D\left(X_1-\bar{X}\right)=\frac{n+1}{n} \sigma^2$ ．
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同分布，记 $U=X+Y, V=X-Y$ ，则随机变量 $U$和 $V$ 必然 ．
$\text{A.}$ 相互独立；
$\text{B.}$ 不相互独立；
$\text{C.}$ 相关；
$\text{D.}$ 不相关．
在假设检验中，显著性水平 $\alpha$ 的意义是 ．
$\text{A.}$ 原假设 $H_0$ 成立，经检验被拒绝的概率
$\text{B.}$ 原假设 $H_0$ 成立，经检验被接受的概率
$\text{C.}$ 原假设 $H_0$ 不成立，经检验被拒绝的概率
$\text{D.}$ 原假设 $H_0$ 不成立，经检验被接受的概率
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设随机变量 $(X, Y)$ 的密度函数为
$$
\varphi(x, y)= \begin{cases}1 / 4, & |y| < x, 0 < x < 2, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}
$$
1) 求边缘密度函数 $\varphi_X(x), \varphi_Y(y)$ ；
2) 问 $X$ 与 $Y$ 是否独立? 是否相关?
3) 计算 $Z=X+Y$ 的密度函数 $\varphi_Z(z)$ ；
设 $X$ 服从区间 $(-1,1)$ 内均匀分布，则 $X$ 与 $Y=|X|$ 的相关系数 $\rho_{X Y}=$
设假设检验中犯第一类错误的概率为 $\alpha$ ，犯第二类错误的概率为 $\beta$ ．为了同时减少 $\alpha$ 和 $\beta$ ，那么只有
设 $X, Y$ 为两个随机变量，且 $P(X \geqslant 0, Y \geqslant 0)=\frac{3}{7}$ ， $P(X \geqslant 0)=P(Y \geqslant 0)=\frac{4}{7}$ ，则 $P(\max (X, Y) \geqslant 0)=$
解答题 （共 18 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设某种电器元件的寿命 $X$ (单位: h ) 服从双指数分布, 概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{\theta} e^{-\frac{x-c}{\theta}}, & x \geqslant c, \theta>0, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $\theta, c$ 为未知参数, 从中抽取 $n$ 件测其寿命, 得它们的有效使用时间依次为 $x_1 \leqslant x_2 \leqslant \cdots \leqslant x_n$. 求 $\theta$与 $c$ 的最大似然估计值.
已知总体$X$的密度函数为$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
3 \theta^{-3} x^2, & 0 < x \leq \theta \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}, \quad \theta>0\right.$ 为未知常数，
$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为总体 $X$ 的一个样本, $\bar{X}$ 是样本均值。(1) 求 $\theta$ 的一阶矩估计 $\hat{\theta}$;
（2）求 $\theta$ 的极大似然估计 $\hat{\theta}_L$ ；（3）判断上面所得的矩估计 $\hat{\theta}$ 的无偏性, 说明理由;
(4) 设 $Y=\max \left(X_1, \ldots, X_n\right)$, 求 $E(Y)$
已知随机变量 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 相互独立, $X_1$ 与 $X_2$ 都在区间 $(0,1)$ 上服从均匀分布, $X_3$ 与 $X_4$ 都服从参数为 $\frac{1}{2}$ 的 $0-1$ 分布, 记 $Y=X_1+X_2+X_3 X_4$, 求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ 及概率密度 $f_Y(y)$.
设 $X$ 是连续型随机变量, 其概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{6}, & 0 \leqslant x < 3, \\ \frac{1}{4}, & 3 \leqslant x < 5, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
且
$$
Y= \begin{cases}0, & X < 1, \\ 1, & 1 \leqslant X < 4, \\ 2, & X \geqslant 4 .\end{cases}
$$
求 $Y$ 的分布律和分布函数.
设随机变量 $X \sim U[1,3]$, 求 $Y=X^3$ 的分布函数 $F_Y(y)$ 与概率密度函数 $f_Y(y)$.
用事件 $A, B, C$ 的运算关系表示事件：（1）$A, B, C$ 都不发生；（2）$A, B, C$ 不都发生； （3）$A, B, C$ 不多于一个发生．
每箱产品有 10 件，其次品数从 0 到 2 是等可能的，开箱检验时，从中任取 1 件，如检验出是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，将 1 件正品误认为次品的概率为 $2 \%, 1$ 件次品被漏查而判为正品的概率为 $5 \%$ ，求该箱产品通过验收的概率．
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\frac{ e ^x}{\left(1+ e ^x\right)^2},-\infty < x < +\infty$ ，令 $Y= e ^X$ ．
（1）求 $X$ 的分布函数；
（2）求 $Y$ 的概率密度．
设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为抽自总体 $X$ 的样本，$E X=\mu, \alpha_i(i=1$ ， $2, \cdots, n)$ 为常数，且 $\sum_{i=1}^n \alpha_i=1$ ，证明：
（1）$\sum_{i=1}^n \alpha_i X_i$ 是 $\mu$ 的无偏估计；
（2）在 $\mu$ 的所有形如 $\sum_{i=1}^n \alpha_i X_i$ 的线性无偏估计中，以 $\bar{X}$ 为最有效．
实验室器血中产生甲，乙两类细菌的机会是相等的，且产生 $k$ 个细菌的概率为
$$
p_k=\frac{\lambda^k}{k!} e^{-k}, \quad k=0,1,2, \cdots \cdots
$$
试求：
（1）产：生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率；
（2）在已知产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有 2 个乙类细菌的概率。
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的密度函数为
$$
f(x, y)=\frac{1}{2}\left[\varphi_1(x, y)+\varphi_2(x, y)\right]
$$
其中 $\varphi_1(x, y)$ 和 $\varphi_2(x, y)$ 都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为 $\frac{1}{3}$ 和 $-\frac{1}{3}$ ，它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是 1 。
（1）求随机变量 $X$ 和 $Y$ 的密度函数 $f_1(x)$ 和 $f_2(y)$ ，及 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho$（可以直接利用二维正态密度的性质）．
（2）问 $X$ 和 $Y$ 是否独立？为什么？
设样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 来自于参数为 $\lambda$ 的泊松分布．试证明 $\bar{X}$ 与 $S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ 都是 $\lambda$ 的无偏估计，且对任 $-a$ 值， $0 \leqslant a \leqslant 1$ ，统计量 $a \bar{X}+(1-a) S^2$ 也是 $\lambda$ 的无偏估计．
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
C y(1-x), 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq x \\
0 & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
求（1）常数 C ；
（2）判断X及Y是否独立；
（3）求概率 $P\{X+Y \leq 1\}$ 。
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{l}2 e^{-2(x-\theta)}, x>\theta \\ 0, x \leq \theta\end{array}\right.$ ，其中 $\theta>0$ 为末知参数， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，令 $\hat{\theta}=\min \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\}$ 。
（1）求总体 $X$ 的分布函数 $F(x)$ ；（2）求估计量 $\hat{\theta}$ 的分布函数；
（3）用 $\hat{\theta}=\min \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\}$ 作为参数 $\theta$ 的估计量，是否具有无偏性。
设总体 $X \sim U(0, \theta), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，证明 $\hat{\theta}=\max _{1 \leq i \leq n}\left\{X_i\right\}$是参数 $\theta$ 的一致估计量。
从总体 $X \sim N\left(u, \sigma^2\right)$ 中抽取容量为 16 的一个样本，样本均值和样本方差分别是
$$
\bar{X}=75, S^2=4, \quad t_{0.975}(15)=2.1315, x_{0.025}^2(15)=6.26, x_{0.975}^2(15)=27.5
$$
求 $u$ 的置信度为 0.95 的置信区间和 $\sigma^2$ 的置信度为 0.95 的置信区间。
设随机变量 $X$ 在数集 $\{0,1,2, \cdots N\}$ 上等可能分布，求 $N$ 的最大似然估计量．
某厂在所生产的汽车蓄电池的说明书上写明：使用寿命的标准差不超过 0.9 年．现随机地抽取了 10 个蓄电池，测得样本的标准差为 1.2 年．假定使用寿命 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，其中 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 未知．取显著性水平 $\alpha=0.05$ ，检验使用寿命的标准差是否不超过 0.9 年．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
假设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，已知 $E\left(X^k\right)=\alpha_k(k=1,2,3,4)$ ．证明：当 $n$ 充分大时，随机变量 $Z_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ 近似服从正态分布，并指出其分布参数．