填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
假设一批产品中一，二，三等品各占 $60 \%, 30 \%, 10 \%$ ，从中随意抽取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为
设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x), f(1-x)=f(1+x)$ ，且 $P\{X \geqslant 2\}=$ 0.3 ，则 $P\{0 \leqslant X < 1\}=$ $\qquad$。
解答题 （共 19 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
飞机场载客汽车上有 20 位乘客，离开机场后共有 10 个车站可以下车，若某个车站没有人下车则该车站不停车。设乘客在每个车站下车的可能性相等，以 $X$ 表示停车的次数，求 $E X$ 。
写出下列随机试验的样本空间：
（1）郑一枚均匀的骰子两次，观察两次出现的点数之和；
（2）某篮球运动员投篮时，要求连续 5 次投中，观察其投篮的次数；
（3）记录某班一次数学考试的平均成绩（以百分制记）；
（4）一射手进行射击，直到击中时为止，观察其射击情况；
（5）在单位圆内任选两点，观察这两点的距离；
（6）观察某地一天内的最高气温和最低气温（假定最低气温不低于 $T_1$ ，最高气温不高于 $T_2$ ）。
把一根长为 $a$ 的木棒任意地折成三段，求这三段能构成一个三角形的概率。
任取两个正的真分式，其和不大于 1 ，且其积不大于 $\frac{2}{9}$ 的概率是多少？
甲，乙，丙三门高射炮向同一架飞机射击，设甲，乙，丙炮射中飞机的概率分别是 $0.4,0.5,0.7$ ．又设若只有一门炮射中，飞机坠毁的概率为 0.2 ；若有两门炮射中，飞机坠毁的概率为 0.6 ；若三门炮都射中，飞机必坠毁．试求飞机坠毁的概率。
如果一危险情况 $C$ 发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性，在 $C$ 发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出，如果两个这样的开关并联，它们每个具有 0.96 的可靠性（即在情况 $C$ 发生时闭合的概率），
（1）这时系统的可靠性（即闭合电路的概率）是多少？
（2）如果需要有一个可靠性至少为 0.9999 的系统，则至少需要用多少只开关并联？这里各开关闭合与否都是相互独立的．
设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)=\frac{1}{\pi\left(1+x^2\right)}$ ，求随机变量 $Y=2 X+1$ 的概率密度．
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)= \begin{cases}\frac{2 x}{9}, & 0 < x < 3 \text { ，} \\ 0 , 其他．\end{cases}$ , 随机变量 $Y= \begin{cases}1, & X \leqslant 1, \\ X, & 1 < X < 2, \text { 求随机变量 } Y \text { 的分布函数．} \\ 2, & X \geqslant 2,\end{cases}$
设随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}, & 0 < x < \pi, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
对 $X$ 重复观察 4 次，用 $Y$ 表示 4 次观察中出现 $X>\frac{\pi}{3}$ 的次数．
（1）求 $Y$ 的分布；
（2）求 $E\left(Y^2\right)$ ．
设随机变量 $X \sim E(5), Y=\min \{X, 2\}$ ，求 $Y$ 的分布函数．
设随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{3}{2 x^3 y^2}, & \frac{1}{x}\langle y\langle x, x\rangle 1 \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ ，求数学期望 $E(Y), E\left(\frac{1}{X Y}\right)$ ．
按规定，某车站每天 8：00～9：00 和 9：00～10：00 之间都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立。其规律为：
一旅客 8：20 到车站，求他候车时间的数学期望．
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立同分布，且 $X$ 的概率分布为
$V=\min \{X, Y\}$ ，试求
（1）$(U, V)$ 的概率分布；
（2）$E(U V)$ ；
（3）$\rho_{u v}$
设随机变量 $(X, Y)$ 具有概率密度。
$$
f(x, y)=\frac{1}{8}(x+y) \quad 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 2
$$
求 $\operatorname{cov}(X, Y), \rho_{X Y}, D(X+Y)$
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布函数
$$
F(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
1-e^{-\lambda_1 x}-e^{-\lambda_2 y}+e^{-\lambda_1 x-\lambda_2 y-\lambda_3 \max \{x, y\}} & \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3>0, x>0, y>0 \\
0 & \text { 其它 }
\end{array}\right.
$$
求 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布函数．
设二维随机变量 $(X, Y)$ 具有概率密度 $f(x, y)= \begin{cases}2 \mathrm{e}^{-(2 x+y)}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
（1）求分布函数 $F(x, y)$ ；
（2）求概率 $P\{Y \leq X\}$ ．
设 $G$ 是平面上的有界区域，其面积 $A$ ．若二维随机变量 $(X, Y)$ 具有概率密度
$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{1}{A}, & (x, y) \in G \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
则称 $(X, Y)$ 在 $G$ 上服从均匀分布．现设二维随机变量在圆域 $x^2+y^2 \leq 1$ 上服从均匀分布，求条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ ．
设随机变量 $X, Y$ 相互独立，其概率密度函数分别为
$$
f_X(x)=\left\{\begin{array}{l}
1,0 \leq x \leq 1 \\
0, \text { 其他 }
\end{array}, f_Y(y)=\left\{\begin{array}{l}
e^{-y}, y>0 \\
0, y \leq 0 .
\end{array}\right.\right.
$$
求随机变量 $Z=2 X+Y$ 的概率密度函数．
设二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq x \leq 3-y, y \leq 1\}$ 上服从均匀分布，求边缘密度 $f_X(x)$ 及在 $X=x$ 条件下，关于 $Y$ 的条件概率密度．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设事件 $A, B$ 满足 $0 < P(A) < 1,0 < P(B) < 1$ ，试证：$A$ 与 $B$ 独立的充要条件是 $P(A \mid B)+P(\bar{A} \mid \bar{B})=1$ 。