填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若函数$f(x)$在点$x_0$处可导，且$f'(x_0) = 3$，则当$x$趋于$x_0$时，$f(x)$的线性近似为
函数 $y=\frac{x^3+3 x^2-x-3}{x^2+x-6}$ 的第一类间断点是
已知 $y=f\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right), f^{\prime}(x)=\arctan \left(1-x^2\right)$ ，则 $\left.d y\right|_{x=0}=$
若 $f(x)=\mathrm{e}^{2012 x} x(x+1)(x+2) \cdots(x+2012)$ ，则 $f^{\prime}(0)=$
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+4}+\cdots+\frac{1}{n+2 n}\right)=$
设 $x \rightarrow 0$ 时， ${e}^{\tan x}-{e}^x$ 与 $x^n$ 是同阶无穷小，则 $n=$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \sqrt{x^2-a^2}, x>1 \\ \mathrm{e}^{b(x-1)}-1, x \leq 1\end{array}\right.$ 在点 $x=1$ 处可导，求 $a, b$ 的值．
已知 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ 2 \arctan x-\ln \frac{1+x}{1-x}}{x^n}=C \neq 0$ ，试确定常数 $n$ 和 $C$ 的值
已知 $f(x)=\frac{\sin x}{1+x^2}$ ，则 $f^{(5)}(0)=$
设函数 $f(x)=x-\ln (1+x)-\frac{1}{2} x \sin x, g(x)=a x^3$ ，且满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=1$ ，则 $a=$
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)=\frac{(x-1)(x-2) \cdot \cdots \cdot(x-n)}{(x+1)(x+2) \cdot \cdots \cdot(x+n)}$, 求 $f^{\prime}(1)$.
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f(x)+\ln (1+x)}{x^2}=\frac{1}{2}$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+1}{x}=$
设 $f(x)$ 在 $x=2$ 的某邻域内可导，且 $f^{\prime}(x)= e ^{f(x)}, f(2)=1$ ，求 $f^{\prime \prime \prime}(2)$ ．
求极限： $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x+x^2\right)-x}{ e ^{\cos x}- e } $
$\lim _{x \rightarrow \infty} \arctan \left(\frac{x^2+x}{x^2+x+1}\right)$
$ x=\varphi(y)$ 是 $y=f(x)(x \geq 0)$ 的反函数，且 $f(x)=e^{x^2+x+1}$ ，求 $\varphi^{\prime}(e)$ ．
设 $y=f\left(\frac{3 x+1}{2 x-1}\right), f^{\prime}(x)=\arctan \left(x^2-17\right)$ ，试求 $y^{\prime}(1)$ ．
求极限： $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^2}-\cos 2 x}{x^2}$ ．
设 $f(x)=-\cos \pi x+(2 x-3)^3+\frac{1}{2}(x-1)$ ，试讨论并证明方程 $f(x)=0$ 根的个数．
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{3}{1 \times 2^2}+\frac{5}{2^2 \times 3^2}+\cdots+\frac{2 n+1}{n^2 \times(n+1)^2}\right]$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{n+k}{n^2+k}$.
设 $y=(1+\sqrt{x})^5$ ，求 $d y$