单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
下列说法不正确的是
$\text{A.}$ 设 $X$ 是连续型随机变量，$a$ 是一个实数，则 $P\{X=a\}=0$ ；
$\text{B.}$ 设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)$ ，则 $\int_{-\infty}^{\infty} f(t) d t=1$
$\text{C.}$ 设随机变量 $X$ 的分布函数是 $F(x)$ ，则 $F(x)$ 是连续的；
$\text{D.}$ 设离散型随机变量 X 的分布律是 $P\left\{X=x_k\right\}=p_k, k=1,2, \cdots$ ，则 $\sum_{k=1}^{\infty} p_k=1$ ；
若协方差 $\operatorname{Cov}(X, Y)=0$ ，以下哪个选项不是其充分且必要条件 。
$\text{A.}$ $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$
$\text{B.}$ $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
$\text{C.}$ $E(X Y)=E(X) E(Y)$
$\text{D.}$ $\rho_{X Y}=0$
随机变量 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}=0.5, Z=-2 X+1$ ，则 $\rho_{Y Z}=$（ ）．
$\text{A.}$ -0.5
$\text{B.}$ 0.5
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 1
已知随机事件 $A, B$ 满足 $P(A \mid B)+P(\bar{A} \mid \bar{B})=1,0 < P(A), P(B) < $ 1 ，则（ ）．
$\text{A.}$ 随机事件 $A, B$ 不相容；
$\text{B.}$ 随机事件 $A, B$ 为对立事件；
$\text{C.}$ 随机事件 $A, B$ 相互独立；
$\text{D.}$ 随机事件 $A, B$ 不相互独立．
已知 $F_X(x), F_Y(y)$ 分别是随机变量 $X$ 与 $Y$ 的分布函数，若函数 $F_Z(z)= k F_X(z)-l F_Y(z)$ 是随机变量 $Z$ 的分布函数，则（ ）．
$\text{A.}$ $k=\frac{2}{3}, l=\frac{1}{3}$ ；
$\text{B.}$ $k=\frac{3}{5}, l=-\frac{2}{5}$ ；
$\text{C.}$ $k=-\frac{1}{2}, l=\frac{3}{2}$ ；
$\text{D.}$ $k=\frac{1}{2}, l=-\frac{3}{2}$ ．
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立并且服从同一分布，其中 $\sigma^2>0, \bar{X}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ，则 ．
$\text{A.}$ $\operatorname{cov}\left(X_1, \bar{X}\right)=\frac{\sigma^2}{n}$ ；
$\text{B.}$ $\operatorname{cov}\left(X_1, \bar{X}\right)=\sigma^2$ ；
$\text{C.}$ $D\left(X_1+\bar{X}\right)=\frac{n+2}{n} \sigma^2$ ；
$\text{D.}$ $D\left(X_1-\bar{X}\right)=\frac{n+1}{n} \sigma^2$ ．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设随机变量 $X, Y$ 相互独立，且 $X \sim B\left(2, \frac{1}{3}\right), \quad Y \sim B\left(2, \frac{1}{4}\right)$ ，则 $P\{X=Y\}=$ 和 $P\{X=1 \mid X=Y\}=$ ．
已知事件 $A$ 和 $B$ 互斥，$P(B)=0.3, P(A-B)=0.2$ ，则 $P(A \cup B)=$
三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为 $\frac{1}{5}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$ ，则三人中至少有一人能破译此密码的概率是
设打车等待时间 $X$（分钟）在 $(0,10)$ 上服从均匀分布，某人周一至周五均打车上班，则至少有一天等待时间大于 5 分钟的概率为
二维正态分布的参数形式为 $N\left(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho\right)$ ，若随机变量 $(X, Y) \cap N(1,2,4,1,0)$ ，则 $2 X-3 Y$ 服从 $\_\_\_\_$分布（要求分布包括参数）
设 $X$ 服从区间 $(-1,1)$ 内均匀分布，则 $X$ 与 $Y=|X|$ 的相关系数 $\rho_{X Y}=$
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设连续型随机变量 $X$ 的分布密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
c x^4, 0 < x < 1, \\
0, \text { 其余. }
\end{array}\right.
$$
求（1）常数 $c$ ；
（2）$P\left\{\frac{1}{4} \leq X^5 < \frac{1}{2}\right\}$ ；
（3）$E(X)$ ；
（4）$D(X)$ ；
（5）设 $Y=e^X$ ，求 $Y$ 的分布密度函数．
设某种昆虫产卵的数目 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的 Poisson分布，而一个卵能孵化为下一代幼虫的概率为 $p$ ，并且各个卵能否孵化为下一代幼虫是相互独立的．求该昆虫有 $r$个下一代幼虫的概率 $p_r$ ．
设随机变量 $X$ 的密度函数为
$$
f(x)=\frac{1}{\pi\left(1+x^2\right)}, \quad(-\infty < x < +\infty)
$$
试求 $E[\min (|X|, 1)]$ ．
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 满足： $\operatorname{var}(X)=2, \operatorname{var}(Y)=4$ ， $\operatorname{cov}(X, \quad Y)=1$ ，再设随机变量 $U=2 X-3 Y$ ， $V=3 X-2 Y$ ，求二维随机变量 $(U, V)$ 的相关系数 $\rho_{U, V}$.
设离散型随机变量 $X$ 的分布列为
$$
P\{X=k\}=\left(e^\lambda-1\right)^{-1} \cdot \frac{\lambda^k}{k!}, \quad(k=1, \quad 2, \quad 3, \cdots) .
$$
其中参数 $\lambda>0$ ．（1）求随机变量 $X$ 的特征函数 $\varphi(t)$ ；（2）利用特征函数 $\varphi(t)$ 求随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)$
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布函数为
$$
F(x, y)= \begin{cases}1-\mathrm{e}^{-2 x}-\mathrm{e}^{1-y}+\mathrm{e}^{-2 x-y+1}, & x \geqslant 0, y \geqslant 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
求 $X, Y$ 的边缘分布函数．
设区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，随机变量 $(X, Y)$ 在 $D$ 上服从均匀分布，令 $Z=\left\{\begin{array}{ll}-1, & Y \geqslant X, \\ 1, & Y < X,\end{array}\right.$ 求 $Z$ 的分布．
设 $X, Y$ 独立同分布，且 $X \sim E(1)$ ，设 $Z=\frac{Y}{X}$ ，求 $Z$ 的概率密度函数．
对感染某肺炎病毒的人进行检测显示阳性的概率是 0.95 ，而对未感染者进行检测显示阳性的概率为 0.01 。某群体中感染该肺炎病毒的概率是 $1 \%$ ，
（1）若在该群体中随机选择一人进行检测，则结果显示阳性的概率是多少？
（2）若一人的检测结果为阳性，则此人确实感染该肺炎病毒的概率是多少？
设二维随机变量 $(X, Y)$ 在单位圆上服从均匀分布，具有概率密度
$$
f(x, y)=\left(\begin{array}{cc}
\frac{1}{\pi}, & x^2+y^2 \leq 1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
（1）求 $P\{X>Y\}$
（2）求 $(X, Y)$ 分别关于 $X$ 和 $Y$ 的边缘概率密度；
（3）$X$ 与 $Y$ 是否相互独立，为什么？
（4）求条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ 和 $P\left\{\left.X < \frac{1}{2} \right\rvert\, Y=0\right\}$
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度
$$
f(x, y)= \begin{cases}2 \mathrm{e}^{-2 x-y}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
求：随机变量 $Z=\max \{X, Y\}$ 的 $E(Z)$ 。