解答题 （共 23 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
21. 设 $A$ 为 2 阶矩阵, $P=(\alpha, A \alpha)$, 其中 $\alpha$ 是非零向量且不是 $A$ 的特征向荲.
(1) 证明 $P$ 为可逆矩阵
(2) 若 $A^2 \alpha+A \alpha-6 \alpha=0$, 求 $P^{-1} A P$, 并判断 $A$ 是否相似于对角矩阵.
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶方阵, 并有可逆矩阵 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \boldsymbol{p}_3\right), \boldsymbol{p}_i(i=1,2,3)$ 为三维列向量, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
(1) 证明: $p_1, p_2$ 为 $(E-A) x=0$ 的解, $p_3$ 为 $(E-A) x=-p_2$ 的解, 且 $A$ 不可相似对角化;
(2) 当 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right]$ 时, 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}3 & 4 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)$, （1）求矩阵 $A$ 的特征值；（2）求矩阵 $A$ 的全部特征向量；(3) 求 $\left|A^2-7 A+E\right|$
若 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是两个 $n$ 阶正交矩阵, 证明: $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 也是正交矩阵.
三阶矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 与 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 10\end{array}\right)$ 满足 $A B=O$.已知 $a_{22}=-3$, 且 $(1,3,2)^T$ 为矩阵 $A$ 的特征向量.
(I) 求矩阵 $A$ 的全部特征值和特征向量;
(II) 求矩阵 $A$ 以及 $(E+A)^{2020}$;
(III) 已知 $\beta=(2,6,4)^T$, 求线性方程组 $A x=\beta$ 的通解.
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$.
(I) 求 $\boldsymbol{A}^{99}$.
(II) 设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{\mathbf{1}}, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$ 满足 $\boldsymbol{B}^2=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$. 记 $\boldsymbol{B}^{100}=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right)$, 将 $\boldsymbol{\beta}_{\mathbf{1}}, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$分别表示为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的线性组合.
证明
(1) $r(A B) \leq \min \{r(A), r(B)\}$
(2) 若 $A_{m \times n} B_{n \times s}=0$, 则 $r(A)+r(B) \leq n$
设 $A =\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & 4 & -3\end{array}\right], \xi_1=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right]$, 求满足 $A \xi_2=2 \xi_1, A ^2 \xi_3=6 \xi_1$ 的所有向量 $\xi_2, \xi_3$.
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 1 & 1 & \lambda\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$, 已知线性方程组 $A x=b$ 存在 2 个不同的解,
(1) 求 $\lambda, a$;
(2) 求方程组 $A x=b$ 的通解.
设 $A$ 为列满秩矩阵, $A B=C$, 证明方程 $B x=0$ 与 $C x=0$ 同解.
已知 $\alpha_1=(1,1,1)^T$ ，求一组非零向量 $\alpha_2, \alpha_3$ ，使得 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 两两正交．
计算$D_n \xlongequal{ }\left|\begin{array}{cccccc}
a & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
a x & a & -1 & \cdots & 0 & 0 \\
a x^2 & a x & a & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a x^{n-2} & a x^{n-3} & a x^{n-4} & \cdots & a & -1 \\
a x^{n-1} & a x^{n-2} & a x^{n-3} & \cdots & a x & a
\end{array}\right| .$
设4阶行列式
$$
D_4 \xlongequal{ }\left|\begin{array}{cccc}
1 & -1 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 2 & 1 \\
1 & 1 & -1 & -2 \\
3 & 0 & 1 & 2
\end{array}\right|
$$
求：$A_{11}+A_{12}-A_{13}-2 A_{14}$（ $A_{i j}$ 是元素 $a_{i j}$ 的代数余子式）．
求方程$\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3+x_4=1 \\
2 x_1+3 x_2+4 x_3+5 x_4=1 \\
4 x_1+9 x_2+16 x_3+25 x_4=1 \\
8 x_1+27 x_2+64 x_3+125 x_4=1
\end{array}\right.$
设 $A, B \in M_3$ ，且满足 $A B+I=A^2+B$ ，又 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，
求矩阵 $B$ ．
设 $A \in M_n, r(A)=1$ ．求证：
（1）$A=\left(\begin{array}{c}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right)\left(b_1, b_2, \cdots, b_n\right)$（其中 $a_i$ 不全为 $0, b_i$ 也不全为 $0, i=1$ ， $2, \cdots, n)$ ．
（2）$A^2=k A$（ $k$ 为常数）．
定义在实数域上次数 $ < 3$ 的多项式空间 $P[x]_3$ 中，试证：$f_1=$ $1, f_2=x-1, f_3=(x-2)(x-1)$ 是 $P[x]_3$ 的一组基，并求向量 $f=3 x^2-7 x$ ． +6 在 $f_1, f_2, f_3$ 下的坐标列向量．
设 $R ^3$ 中线性变换 $\sigma$ 的定义如下：$\sigma\left(x_1, x_2, x_3\right)^{ T }=\left(2 x_1-\right.$ $\left.x_2, x_2-x_3, x_2+x_3\right)^{ T }$ ．求 $\sigma$ 在自然基： $\varepsilon _1=(1,0,0)^{ T }, \varepsilon _2=(0,1,0)^{ T }$ ， $\varepsilon _3=(0,0,1)^{ T }$ 下的对应矩阵。
设 $V$ 是数域 $F$ 上的一个一维向量空间，试证 $V$ 到自身的映射 $\sigma$ 是线性变换的充分必要条件是对 $\forall \alpha \in V$ ，都有 $\sigma( \alpha )=\lambda \alpha$ ，其中 $\lambda$ 是 $F$ 中一个常数。
试把 $(1,0,1,0)^{ T },(0,1,0,2)^{ T }$ 扩充成为 $R ^4$ 的一组标准正交基．
已知向量 $\alpha=(1,-1,2)^T, \beta=\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2},-1\right)^T$ ，记 $A=\alpha \beta^T$ ，求 $A^{2021}$ 。
若 $n$ 阶矩阵 $A$ 和 $B$ 满足 $A+B=A B$ ，
（1）证明 $E-B$ 可逆（ $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵）；（2）若 $A=\left(\begin{array}{lll}3 & 5 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，求 $B$ ．
设 A 是 $\boldsymbol{m} \times \boldsymbol{n}$ 矩阵， B 是 $\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{m}$ 矩阵， I 是 n 阶单位矩阵 $(\mathrm{m}>\mathrm{n})$ ，已知 $\mathrm{BA}=\mathrm{I}$ ，试判断 A的列向量组是否线性相关？为什么？
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明：$n$ 阶行列式
$$
D_n=\left|\begin{array}{cccccc}
2 a & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
a^2 & 2 a & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & a^2 & 2 a & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 2 a & 1 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & a^2 & 2 a
\end{array}\right|=(n+1) a^n
$$
证明：
$$
\left|\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
a^3 & b^3 & c^3
\end{array}\right|=(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)
$$