解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
21. 设 $A$ 为 2 阶矩阵, $P=(\alpha, A \alpha)$, 其中 $\alpha$ 是非零向量且不是 $A$ 的特征向荲.
(1) 证明 $P$ 为可逆矩阵
(2) 若 $A^2 \alpha+A \alpha-6 \alpha=0$, 求 $P^{-1} A P$, 并判断 $A$ 是否相似于对角矩阵.
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶方阵, 并有可逆矩阵 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \boldsymbol{p}_3\right), \boldsymbol{p}_i(i=1,2,3)$ 为三维列向量, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
(1) 证明: $p_1, p_2$ 为 $(E-A) x=0$ 的解, $p_3$ 为 $(E-A) x=-p_2$ 的解, 且 $A$ 不可相似对角化;
(2) 当 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right]$ 时, 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}3 & 4 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)$, （1）求矩阵 $A$ 的特征值；（2）求矩阵 $A$ 的全部特征向量；(3) 求 $\left|A^2-7 A+E\right|$
若 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是两个 $n$ 阶正交矩阵, 证明: $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 也是正交矩阵.
三阶矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 与 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 10\end{array}\right)$ 满足 $A B=O$.已知 $a_{22}=-3$, 且 $(1,3,2)^T$ 为矩阵 $A$ 的特征向量.
(I) 求矩阵 $A$ 的全部特征值和特征向量;
(II) 求矩阵 $A$ 以及 $(E+A)^{2020}$;
(III) 已知 $\beta=(2,6,4)^T$, 求线性方程组 $A x=\beta$ 的通解.
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$.
(I) 求 $\boldsymbol{A}^{99}$.
(II) 设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{\mathbf{1}}, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$ 满足 $\boldsymbol{B}^2=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$. 记 $\boldsymbol{B}^{100}=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right)$, 将 $\boldsymbol{\beta}_{\mathbf{1}}, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$分别表示为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的线性组合.