填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处连续，且 $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{x-x_0}=a$ ，则 $f^{\prime}\left(x_0\right)$
设 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在，则$\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0-3 \Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$
设 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在，则$\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0-\Delta x\right)}{\Delta x}=$
设 $f(x)=x \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ ，求 $f^{\prime}(0)$
若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin x}{\ln (1+x)-a}\left( e ^x-b\right)=2$ ，则 $a=$ $\qquad$ ，$b=$ $\qquad$ ．
已知函数 $f(x)=\frac{1}{3 x-4}$ ，则 $f^{(n)}(0)=$
已知当 $x \rightarrow 0$ 时，$\left(1+a x^2\right)^{\frac{1}{3}}-1$ 与 $\cos x-1$ 是等价无穷小，则常数 $a=$ $\qquad$
设 $f^{\prime}(x)$ 存在，求极限 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+2 a \Delta x)-f(x+b \Delta x)}{5 \Delta x}$ ，其中 $a, b$ 为非零常数．
解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明数列 $x_n=\sin \frac{n \pi}{2}(n=1,2, \ldots)$ 是发散的．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin x}{x}$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 x}{x \sin x}$ ；
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1+x}{x}\right)^{2 x}$ ；
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x^3+3 x}$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^3}$ ．
证明方程 $x^5-3 x=1$ 至少有一个根介于 1 和 2 之间．
求正弦函数 $y=\sin (a x+b)$ 与余弦函数 $y=\cos (a x+b)$ 的 $n$ 阶导数．
求函数 $\ln (a x+b)$ 的 $n$ 阶导数
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^3}$ ．
$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}{\operatorname{arccot} x}$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x\left[(1+x)^{\frac{1}{3}}-1\right]}{1-\cos x}$ ；
求等边双曲线 $y=\frac{1}{x}$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 处的切线斜率，并写出在该点处的切线及法线方程．
求下列函数的二阶导数
（1）$y=e^x \sin x$ ；
（2）$y=\left(1+x^2\right) \arctan x$ ．
求函数 $y=e^{-x} \cos (3-x)$ 的微分．