单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2, & x \leqslant 0, \\ x^2+x, & x>0 .\end{array}\right.$ 则（ ）
$\text{A.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}-x^2, & x \leqslant 0, \\ -\left(x^2+x\right), & x>0 .\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}-\left(x^2+x\right), & x < 0, \\ -x^2, & x \geqslant 0 .\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2, & x \leqslant 0, \\ x^2-x, & x>0 .\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2-x, & x < 0, \\ x^2, & x \geqslant 0 .\end{array}\right.$
已知 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2}{x+1}-a x-b\right)=0$ ，其中 $a, b$ 是常数，则 $\delta$
$\text{A.}$ $a=1, b=1$
$\text{B.}$ $a=-1, b=1$
$\text{C.}$ $a=1, b=-1$
$\text{D.}$ $a=-1, b=-1$
若 $y=\sin f\left(x^2\right), f(u)$ 一阶可导，则 $d y=()$
$\text{A.}$ $\cos f\left(x^2\right) d x$
$\text{B.}$ $f^{\prime}\left(x^2\right) \cos f\left(x^2\right) d x$
$\text{C.}$ $2 x f^{\prime}\left(x^2\right) \cos f\left(x^2\right) d x$
$\text{D.}$ $2 x^2 f^{\prime}\left(x^2\right) \cos f\left(x^2\right) d x$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |x| \leqslant 1, \\ 0, & |x|>1,\end{array}\right.$ 则 $f\{f[f(x)]\}$ 等于
$\text{A.}$ 0．
$\text{B.}$ 1 ．
$\text{C.}$ $\begin{cases}1, & |x| \leqslant 1, \\ 0, & |x|>1 .\end{cases}$
$\text{D.}$ $\begin{cases}0, & |x| \leqslant 1, \\ 1, & |x|>1 .\end{cases}$
若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x+x f(x)}{x^3}=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6+f(x)}{x^2}$ 为
$\text{A.}$ 0 ．
$\text{B.}$ 6 ．
$\text{C.}$ 36 ．
$\text{D.}$ $\infty$ ．
已知极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{x^k}=c$ ，其中 $k, c$ 为常数，且 $c \neq 0$ ，则
$\text{A.}$ $k=2, c=-\frac{1}{2}$ ．
$\text{B.}$ $k=2, c=\frac{1}{2}$ ．
$\text{C.}$ $k=3, c=-\frac{1}{3}$ ．
$\text{D.}$ $k=3, c=\frac{1}{3}$ ．
设 $\alpha_1=x(\cos \sqrt{x}-1), \alpha_2=\sqrt{x} \ln (1+\sqrt[3]{x}), \alpha_3=\sqrt[3]{x+1}-1$ ．当 $x \rightarrow 0^{+}$时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ ．
$\text{B.}$ $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_1$ ．
$\text{C.}$ $\alpha_2, \alpha_1, \alpha_3$ ．
$\text{D.}$ $\alpha_3, \alpha_2, \alpha_1$ ．
设 $x \rightarrow 0$ 时， $\mathrm{e}^{\tan x}-\mathrm{e}^x$ 与 $x^n$ 是同阶无穷小，则 $n$ 为
$\text{A.}$ 1 ．
$\text{B.}$ 2 ．
$\text{C.}$ 3 ．
$\text{D.}$ 4 ．
设 $f(x)=2^x+3^x-2$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时
$\text{A.}$ $f(x)$ 是 $x$ 的等价无穷小。
$\text{B.}$ $f(x)$ 与 $x$ 是同阶但非等价无穷小。
$\text{C.}$ $f(x)$ 是比 $x$ 更高阶的无穷小。
$\text{D.}$ $f(x)$ 是比 $x$ 较低阶的无穷小．
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 连续，则下列命题错误的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$ 。
$\text{B.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$ ．
$\text{C.}$ 若 $\lim _{x=0} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在．
$\text{D.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在．
填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ e ^{x^2}-1}{x \ln (1+2 x)}$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{\sin ^3 x}$
若函数$f(x)$在点$x_0$处可导，且$f'(x_0) = 3$，则当$x$趋于$x_0$时，$f(x)$的线性近似为
若 $\frac{\ln x}{x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\int x f^{\prime}(x) d x=$
求由曲线 $y=x^3$ 与 $y=x(x \geq 0)$ 所围成的平面图形的面积。
已知 $f(x)=\sin x, f[\varphi(x)]=1-x^2$ ，求函数 $\varphi(x)$ 的定义域．
$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x(x+1)} \mathrm{d} x=$
设函数 $y=y(x)$ 由 $x^2+x y+y^3=1$ 确定，则 $y^{\prime \prime}(1)=$
设 $f(x)=x^2\left(e^x+1\right)$ ，则 $f^{(5)}(1)=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $a, b$ 使函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2+2 x+3 & x \leq 0 \\ a x+b & x>0\end{array}\right.$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续可导
求 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^3+4 x^2+2}{7 x^3+5 x^2-3}$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x^3+3 x}$ ．
已知极限 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 存在，则 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)$ 是否存在？若存在，为多少？
$\int x \sqrt{1-x^2} d x$
设 $y=e^{\arctan \sqrt{x}}$ ，求 $d y$
求由曲线 $y=x^2$ 与 $y=\sqrt{x}$ 所围成的平面图形的面积。
计算极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} x\left[e^{\frac{1}{x}}-x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$