单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
直线 $y=x, x=2$ 与曲线 $y=\frac{1}{x}$ 所围成图形的面积为（ ）
$\text{A.}$ $\frac{3}{2}-\ln 2$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}-\ln 2$
$\text{C.}$ $\frac{3}{2}-\ln 3$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}-\ln 3$
当 $x \rightarrow 0$ 时，下列无穷小函数中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小？
$\text{A.}$ $\ln (1+x)-x$
$\text{B.}$ $\mathrm{e}^x-1-x$
$\text{C.}$ $\sin x-x$
$\text{D.}$ $\sqrt{1+2 x}-1-x$
当 $x \rightarrow 0$ 时，下列无穷小中与 $x^2$ 为同阶无穷小的是
$\text{A.}$ $1-e^x$
$\text{B.}$ $\ln \left(1-x^3\right)$
$\text{C.}$ $\arcsin \left(3 x^2\right)$
$\text{D.}$ $\sqrt{1+x^4}-1$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3 x}{x}$ 的值为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
函数 $y=\cos (2 x)$ 的导数是
$\text{A.}$ $-\sin (2 x)$
$\text{B.}$ $-2 \sin (2 x)$
$\text{C.}$ $\sin (2 x)$
$\text{D.}$ $2 \sin (2 x)$
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
试确定常数 $a, b, c$ 的值，使得 $\ln (1+x)-\frac{a x}{1+b x}=c x-x^2+o\left(x^3\right)$ ，其中 $o\left(x^3\right)$ 是当 $x \rightarrow 0$ 时比 $x^3$ 高阶的无穷小．
若 $x \rightarrow 0$ 时，$\left(1-a x^2\right)^{\frac{1}{4}}-1$ 与 $x \sin x$ 是等价无穷小，则 $a=$
若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在，求：
（1） $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0-h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$ ；
（2） $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0-h\right)}{2 h}$ ．
设 $f^{\prime}(x)$ 存在，求极限 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+2 a \Delta x)-f(x+b \Delta x)}{5 \Delta x}$ ，其中 $a, b$ 为非零常数．
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{\sin x}=$
已知 $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^2+a x+b}{x^2-x-2}=2$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$
已知 $x \rightarrow 0$ 时，$\left(1+a x^2\right)^{\frac{1}{3}}-1$ 与 $\cos x-1$ 是等价无穷小，则常数 $a=$
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^x=$
如果
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{\sin x}{x}, & x < 0 \\ k, & x=0 \\ \frac{\ln (1+x)}{x}, & x>0\end{cases}
$$
在 $x=0$ 处连续，则 $k=$
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\int_0^a \frac{d x}{x+\sqrt{a^2-x^2}}$ ；
$\int \frac{x^4}{1+x^2} d x$
设 $y=f\left(\frac{3 x+1}{2 x-1}\right), f^{\prime}(x)=\arctan \left(x^2-17\right)$ ，试求 $y^{\prime}(1)$ ．
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $e ^y+x y= e$ 所确定，求 $y^{\prime}(0), y^{\prime \prime}(0)$ ．
$ y=(\sin x)^{\cos x}$ ，求 $y^{\prime}$ ．
$y=\sqrt{\frac{x-1}{x(x+2)}}$ 求 $y^{\prime}$ ．
求函数 $y=e^{-x} \cos (3-x)$ 的微分．
已知 $y=1-x e^y$ ，试求 $d y$ ．
$\int \frac{1}{1+e^{-x}} d x$ ；
用分部积分法求不定积分
（1） $\int x \ln ^2 x d x$ ；
（2） $\int \arccos x d x$ ．