解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
对某个目标射击，命中率为 $p(0 < p < 1)$ ，直到目标命中两次为止．设 $X$ 表示首次命中目标射击的次数，$Y$ 表示两次命中目标的总次数．
（1）求 $(X, Y)$ 的联合分布律；
（2）求 $X$ 及 $Y$ 的条件分布律．
已知随机变量 $X$ 在区间 $[0,1]$ 服从均匀分布，随机变量 $Y$ 在区间 $[0,1]$ 服从均匀分布，且 $X, Y$ 相互独立。求随机变量 $Z=X+Y$ 的概率密度函数。
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合分布函数为
$$
F(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
0, & \min \{x, y\} < 0 \\
\min \{x, y\} & 0 \leq \min \{x, y\} < 1 \\
1 & \min \{x, y\} \geq 1
\end{array}\right.
$$
则随机变量 $X$ 的分布函数为
设二维随机变量 $(X, Y)$ 具有概率密度 $f(x, y)= \begin{cases}2 \mathrm{e}^{-(2 x+y)}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
（1）求分布函数 $F(x, y)$ ；
（2）求概率 $P\{Y \leq X\}$ ．
已知随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
e^{-y}, & 0 < x < y \\
0, & \text { 其它 }
\end{array}\right.
$$
（1）求 $(X, Y)$ 的联合分价函数
（2）求 $P\{X+Y \leq 1\}$
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的密度函数为：
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
c y(1-x-y), & x>0, y>0, x+y < 1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
求（1）常数 $c$ ；
（2）条件：密度函数 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ ．
设随机变量 $X, Y$ 相互独立，其概率密度函数分别为
$$
f_X(x)=\left\{\begin{array}{l}
1,0 \leq x \leq 1 \\
0, \text { 其他 }
\end{array}, f_Y(y)=\left\{\begin{array}{l}
e^{-y}, y>0 \\
0, y \leq 0 .
\end{array}\right.\right.
$$
求随机变量 $Z=2 X+Y$ 的概率密度函数．
假设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，如果 $X$ 服从标准正态分布，$Y$ 的概率分布为
$$
P\{Y=-1\}=\frac{1}{4}, \quad P\{Y=1\}=\frac{3}{4}
$$
求 $Z=X Y$ 的概率密度 $f_Z(z)$
假设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，如果 $X$ 服从标准正态分布，$Y$ 的概率分布为
$$
P\{Y=-1\}=\frac{1}{4}, \quad P\{Y=1\}=\frac{3}{4}
$$
求 $Z=|X-Y|$ 的概率密度 $f_Z(z)$ ．