单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x), g(x)$ 是大于零的可导函数，且 $f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x) < 0$ ，则当 $a < x < b$ 时，有 ．
$\text{A.}$ $f(x) g(b)>f(b) g(x)$
$\text{B.}$ $f(x) g(a)>f(a) g(x)$
$\text{C.}$ $f(x) g(x)>f(b) g(b)$
$\text{D.}$ $f(x) g(x)>f(a) g(a)$
使函数 $f(x)=\sqrt[3]{x^2\left(1-x^2\right)}$ 适合罗尔定理条件的区间是
$\text{A.}$ $[0,1]$
$\text{B.}$ $[-1,1]$
$\text{C.}$ $[-2,2]$
$\text{D.}$ $[-3 / 5,4 / 5]$
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-\left(a x+b x^2\right)}{x^2}=2$, 则
$\text{A.}$ $a=1, b=-\frac{5}{2}$.
$\text{B.}$ $a=0, b=-2$.
$\text{C.}$ $a=0, b=-\frac{5}{2}$.
$\text{D.}$ $a=1, b=-2$.
设 $f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f^{\prime}(a)>0, f^{\prime}(b) < 0$ ，则下列结论中错误的是
$\text{A.}$ 至少存在一点 $x_0 \in(a, b)$ ，使得 $f\left(x_0\right)>f(a)$ ．
$\text{B.}$ 至少存在一点 $x_0 \in(a, b)$ ，使得 $f\left(x_0\right)>f(b)$ ．
$\text{C.}$ 至少存在一点 $x_0 \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ ．
$\text{D.}$ 至少存在一点 $x_0 \in(a, b)$ ，使得 $f\left(x_0\right)=0$ ．
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $p, q$ 是大于 1 的常数，且 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ．证明：对于任意 $x>0$ ，有 $\frac{1}{p} x^p+\frac{1}{q} \geq x$ ．
设一元函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b](a < b)$ 上二阶可导，满足：
$$
f(a)=f(b)=f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0
$$
且当 $x \in[a, b]$ 时，$\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq M$（ $M$ 为一个正数），证明：
$$
|f(x)| \leq \frac{M}{16}(b-a)^2, x \in[a, b]
$$
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f(a) f(b)>0, f(a) f\left(\frac{a+b}{2}\right) < 0$ ，证明至少存在一点 $\xi \in(a, b)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)=k f(\xi)$ ．
设 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 内的连续函数，$f(0) \neq 0$ ．如果 $F(x)=\int_0^x e^t f(t) d t$不是单调函数，试证明：存在两个不同的点 $a, b$ 使得 $a f(b)+f(a)=0$ ．
证明：当 $x>0$ 时，有 $\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} < \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) < x$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，$f(0)=1, f(1)=\frac{1}{2}$ ，且 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内至多有一个零点，证明：存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)+f^2(\xi)=0$ ．
证明当 $a>b>0$ 时，$\frac{a-b}{a} < \ln \frac{a}{b} < \frac{a-b}{b}$
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且满足 $f(1)=2 \int_0^{\frac{1}{2}} x e^{1-x} f(x) d x$ ，证明：至少存在一点 $\xi$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\left(1-\xi^{-1}\right) f(\xi)$
证明题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 在区间 $[1,2]$ 上连续，在 $(1,2)$ 内可导，且 $f(2)=0$ ．证明：至少存在一点 $\xi \in(1,2)$ 使得
$$
\xi \ln (\xi) f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0
$$
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 二阶可导，满足：（1）$f(a)=f(b)=0$ ；（2） $\exists c \in(a, b)$ ，使得 $f(c)>0$ ，证明：$\exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi) < 0$ 。
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，证明：在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得
$$
f^{\prime}(\xi)=2 \xi[f(1)-f(0)]
$$
当 $x>0$ 时，证明： $1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)>\sqrt{1+x^2}$ ．
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上的导数 $f^{\prime}(x)$ 单调增加，$f(0)=0$ ，且 $x>0$ 时，$f(x)>0$ ．
（1）证明函数 $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调增加；
（2）如果 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=1$ ．证明函数 $F(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{f(x)}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调增加．
证明：当 $e < a < b < e^2$ 时， $\ln ^2 b-\ln ^2 a>\frac{4}{e^2}(b-a)$
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，证明存在 $\xi \in(a b)$ 使 $\left(b^2-a^2\right) f^{\prime}(\xi)=2 \xi[f(b)-f(a)]$.
证明：当 $x>0$ 时， $1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)>\sqrt{1+x^2}$ ．
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续可微，$f(0)=0$ ，证明在 $(0,1)$ 中存在一点 $\xi$ ，满足
$$
(1-\xi) f^{\prime}(\xi)=f(\xi)
$$
证明：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a)>0, f(b) < 0$ ，则在区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得 $f(\xi)=0$ 。
设 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，证明 $2 \sin x+\tan x \geq 3 x$ 。
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $f(1)>0, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=-1$ ，
证明：（1）方程 $f(x)=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在一个实根．
（2）方程 $f(x) f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^2=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在两个不同实根．