设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s(s \geqslant 2)$ 线性无关，向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 能线性表示向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ ，则以下结论中不能成立的是（ ）。

设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 是三维线性空间 $V$ 的基，则（ ）也是 $V$ 的基．

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 实矩阵， $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=n$ ，则（ ）．

四阶行列式 $\left|\begin{array}{cccc}a_1 & 0 & 0 & b_1 \\ 0 & a_2 & b_2 & 0 \\ 0 & b_3 & a_3 & 0 \\ b_4 & 0 & 0 & a_4\end{array}\right|$ 的值等于

若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式 $\left|\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_1\right|=m$ ， $\left|\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right|=n$ ，则 4 阶行列式 $\left|\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2\right|$ 等于

若矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrrr}1 & a & -1 & 2 \\ 0 & -1 & a & 2 \\ 1 & 0 & -1 & 2\end{array}\right]$ 的秩 $r(\boldsymbol{A})=2$ ，则 $a$ 的值为 ．

设 $\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵，且 $|\boldsymbol{A}|=-1$ ，则伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*=()$ 。

设 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是 $n$ 维列向量， $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta} \neq 0, n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}+\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}(n \geqslant 3)$ ，则在 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个特征值中，必然（ ）．

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶方阵，且秩相等，即 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})$ ，则（ ．

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $\boldsymbol{A}^2-3 \boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}=\mathbf{0}$ ，则矩阵 $2 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$

设 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right)$ 则 $A$ 的伴随矩阵 $A^*=$

已知向量组 $\alpha_1=(1,1,1)^T, \alpha_2=(1,2,3)^T, \alpha_3=(1,3, t)^T$ 线性相关，则 $t=$

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为三阶方阵，行列式 $|\boldsymbol{A}|=2,|\boldsymbol{B}|=-1$ ，矩阵 $\boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{0} & 2 \boldsymbol{A} \\ -\boldsymbol{B} & \mathbf{0}\end{array}\right]$ ，则行列式 $|\boldsymbol{C}|=$ $\_\_\_\_$。

已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶方阵，$\lambda= \pm 1$ 不是 $\boldsymbol{B}$ 的特征值，且 $\boldsymbol{A B}-\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$ ，则 $\boldsymbol{A}^{-1}=$ $\_\_\_\_$。

已知 $b$ 为一常数，设集合

$$
V=\left\{\boldsymbol{\alpha} \left\lvert\, \boldsymbol{\alpha}=\left[\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
a_1+a_2+b
\end{array}\right]\right., a_1, a_2, b \in \mathbb{R}\right\},
$$


若 $V$ 是向量空间 $\mathbb{R}^3$ 的子空间，则 $b=$

设行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}3 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & -2 & 2\end{array}\right|$ ，则第四行各元素余子式之和的值为 $\_\_\_\_$

设 $\boldsymbol{A}^*$ 是 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，行列式 $|\boldsymbol{A}|=2$ ，则 $\left|2 \boldsymbol{A}^*\right|=$ $\_\_\_\_$。

行列式 $D$ 中第 2 行元素的代数余子式的和 $\sum_{j=1}^4 A_{2 j}=$ $\_\_\_\_$ ，其中

$$
D=\left|\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & -1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & -1
\end{array}\right| .
$$

已知实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+4 x_2^2+2 x_3^2+2 a x_1 x_2+2 x_2 x_3$ 为正定二次型，则实常数 $a$ 的取值范围为

$2 n$ 阶行列式 $D_{2 n}=\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{A}\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $n$ 阶矩阵

$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}
a & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & 0 \\
0 & 0 & \cdots & a
\end{array}\right], \quad \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cccc}
0 & \cdots & 0 & b \\
0 & \cdots & b & 0 \\
\vdots & & \vdots & \vdots \\
b & \cdots & 0 & 0
\end{array}\right] .
$$

设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right], n \geqslant 2$ 为正整数，则 $\boldsymbol{A}^n-2 \boldsymbol{A}^{n-1}=$

设矩阵 $A=\left(\begin{array}{rll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2\end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{rl}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ 求矩阵方程 $A X=B$ 的解 $X$

计算 $D_n=\left|\begin{array}{cccc}
1+a_1 & 1 & \cdots & 1 \\
2 & 2+a_2 & \cdots & 2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
n & n & \cdots & n+a_n
\end{array}\right|$ ,$a_i \ne 0$

设有线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+a_1 x_2+a_1^2 x_3=a_1^3 \\
x_1+a_2 x_2+a_2^2 x_3=a_2^3 \\
x_1+a_3 x_2+a_3^2 x_3=a_3^3 \\
x_1+a_4 x_2+a_4^2 x_3=a_4^3
\end{array}\right.
$$


1．证明：若 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 两两不相等，则此线性方程组无解。
2．设 $a_1=a_3=k, a_2=a_4=-k(k \neq 0)$ ，求方程组的通解。

已知二次型

$$
f=\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+3 x_2^2+3 x_3^2+2 a x_2 x_3(a>0)
$$


通过正交变换可化为标准形 $f=y_1^2+2 y_2^2+5 y_3^2$ ，求参数 $a$ 及所作的正交变换。

讨论$\lambda$取何值时，方程组有解，并求
$$
\left\{\begin{array}{l}
(1+\lambda) x_1+x_2+x_3=1 \\
x_1+(1+\lambda) x_2+x_3=\lambda \\
x_1+x_2+(1+\lambda) x_3=\lambda^2
\end{array}\right.
$$

求正交变换 $x=Q y$ ，将二次型

$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=3 x_1^2+3 x_2^2-4 x_1 x_2+x_3^2
$$


化为标准形。

设向量组

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{r}
-1 \\
0 \\
1
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_3=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right] ; \\
& \boldsymbol{\beta}_1=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_2=\left[\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_3=\left[\begin{array}{l}
a \\
0 \\
1
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$

（1）问：$a$ 取何值时，向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 是向量空间 ${ }^3$ 的基，为什么？
（2）求 $2^3$ 中基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 到基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 的过渡矩阵。

计算 $n$ 阶行列式

$$
D_n=\left|\begin{array}{cccc}
x_1-m & x_2 & \cdots & x_n \\
x_1 & x_2-m & \cdots & x_n \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
x_1 & x_2 & \cdots & x_n-m
\end{array}\right| .
$$

求矩阵 $\boldsymbol{X}$ ，使 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1}-\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ ，其中矩阵

$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrr}
2 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}
6 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 2 & 1
\end{array}\right] .
$$

设非齐次线性方程组

$$
\left\{\begin{aligned}
2 x_1+x_2+a_3 x_3+a_4 x_4 & =d_1, \\
x_1-2 x_2+b_3 x_3+b_4 x_4 & =d_2, \\
c_1 x_1+c_2 x_2+2 x_3-3 x_4 & =d_3
\end{aligned}\right.
$$


有 3 个解向量

$$
\boldsymbol{\eta}_1=\left[\begin{array}{r}
1 \\
1 \\
-2 \\
1
\end{array}\right], \boldsymbol{\eta}_2=\left[\begin{array}{r}
2 \\
-1 \\
1 \\
1
\end{array}\right], \boldsymbol{\eta}_3=\left[\begin{array}{l}
3 \\
2 \\
4 \\
2
\end{array}\right] .
$$
求此线性方程组的系数矩阵的秩，并求其通解，其中 $a_{i-2}, b_{i-2}, c_i, d_j$ 为常数 $(i= 1,2 ; j=1,2,3)$ 。

已知实二次型

$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+3 x_2^2+3 x_3^2+2 \lambda x_2 x_3 \quad(\lambda>0),
$$


经过正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q y}$ ，化为标准形 $y_1^2+2 y_2^2+5 y_3^2$ ．求实参数 $\lambda$ 以及正交矩阵 $Q$ 。

设线性方程组为

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+x_2+x_3+3 x_4 & =0, \\
2 x_1+x_2+3 x_3+5 x_4 & =1, \\
3 x_1+2 x_2+a x_3+7 x_4 & =1, \\
x_1-x_2+3 x_3-x_4 & =b .
\end{aligned}\right.
$$

（1）问：$a, b$ 取何值时，线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？
（2）当线性方程组有无穷多解时，求出其通解．

已知四维实向量空间 $z^4$ 中的向量组

$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_3=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_4=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right] ; \\
\boldsymbol{\beta}_1=\left[\begin{array}{r}
1 \\
-1 \\
a \\
1
\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_2=\left[\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
2-a \\
1
\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_3=\left[\begin{array}{r}
-1 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_4=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right] .
\end{gathered}
$$


试求：（1）常数 $a$ 的值，使 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3, \boldsymbol{\beta}_1$ 为 $\mathbb{R}^4$ 的基；
（2）由 $\mathbb{R}^i$ 的基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 到基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3, \boldsymbol{\beta}_4$ 的过渡矩阵 $\boldsymbol{P}$ ．

证明：不存在 $n$ 阶正交矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ ，使得 $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A B}+\boldsymbol{B}^2$ 。

设 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 是 $n$ 元实二次型，存在 $n$ 维实列向量 $\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2$ ，使 $\boldsymbol{x}_1^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_1>0$ ， $\boldsymbol{x}_2^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_2 < 0$ ．证明：存在 $n$ 维实列向量 $\boldsymbol{x}_0 \neq \mathbf{0}$ ，使 $\boldsymbol{x}_0^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_0=0$ ．

设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 既是正交矩阵又是正定矩阵，证明： $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶单位矩阵。

设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 是欧氏空间 $V$ 的标准正交基，证明：

$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{\beta}_1=\frac{1}{3}\left(2 \boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3\right), \boldsymbol{\beta}_2=\frac{1}{3}\left(2 \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+2 \boldsymbol{\alpha}_3\right), \\
\boldsymbol{\beta}_3=\frac{1}{3}\left(\boldsymbol{\alpha}_1-2 \boldsymbol{\alpha}_2-2 \boldsymbol{\alpha}_3\right)
\end{gathered}
$$

也是 $V$ 的标准正交基．

设向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性表示，且 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 线性无关．证明：向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 与 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 等价．