单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 连续, 偏导数存在.
$\text{B.}$ 连续, 偏导数不存在.
$\text{C.}$ 不连续, 偏导数存在.
$\text{D.}$ 不连续, 偏导数不存在.
设 $f(x, y)= e ^{\sqrt{x^2+y^4}}$, 则
$\text{A.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 存在, $f_y^{\prime}(0,0)$ 存在.
$\text{B.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在, $f_y^{\prime}(0,0)$ 存在.
$\text{C.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 存在, $f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在.
$\text{D.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在, $f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在.
函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 可微是两个偏导数 $f_x\left(x_0, y_0\right)$ 和 $f_y\left(x_0, y_0\right)$ 存在的
$\text{A.}$ 充分条件；
$\text{B.}$ 必要条件；
$\text{C.}$ 充分必要条件；
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件．
二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 连续，偏导数存在．
$\text{B.}$ 连续，偏导数不存在．
$\text{C.}$ 不连续，偏导数存在．
$\text{D.}$ 不连续，偏导数不存在．
已知函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2 y}{x^2+y^2}, & x^2+y^2 \neq 0, \\ 0, & x^2+y^2=0 .\end{array}\right.$ 则 $f_{x y}^{\prime \prime}(0,0)$
$\text{A.}$ 不存在．
$\text{B.}$ 存在等于 2 ．
$\text{C.}$ 存在等于 1 ．
$\text{D.}$ 存在等于 0 ．
设 $F(x, y, z)$ 连续可微，$F_x \cdot F_y \cdot F_z \neq 0$ ，方程 $F(x, y, z)=0$ 可确定连续可微的隐函数 $z=z(x, y), y=y(z, x), x=y(y, z)$ ，则（ ）。
$\text{A.}$ $\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial z}=-3$ ；
$\text{B.}$ $\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial z}=3$ ；
$\text{C.}$ $\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial z}=-1$ ；
$\text{D.}$ $\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial z}=1$ ．
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $z=\left(x+\mathrm{e}^y\right)^x$ ，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,0)}=$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\left\{\begin{array}{l}x^2+2 y^2+3 z^2=21, \\ x+y+z=0,\end{array}\right.$ 求 $\frac{d z}{d x}, \frac{d y}{d x}$ ．
设 $z=f\left(x y, \frac{x}{y}\right)+\sin y$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $z+x=e^{z-y}$ 所确定，求偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 及全微分 $d z$
设函数 $u(x, y)$ 具有连续的二阶偏导数，$v(x)$ 二阶可导，$z=u(x+y$ ， $x y)+v(2 x+3 y)$ ，求 $z_{x y}$
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x, y)= \begin{cases}\left(x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x^2+y^2}, & x^2+y^2 \neq 0, \\ 0, & x^2+y^2=0 .\end{cases}$
证明：函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处偏导数不连续，但 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微．