单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
若方程组 $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & t \\ 3 & 6 & 9\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ 的基础解系含有两个解向量，则 $t=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+3 x_2^2+3 x_3^2+12 x_2 x_3$ 是（ ）。
$\text{A.}$ 正定的
$\text{B.}$ 半正定的
$\text{C.}$ 负定的
$\text{D.}$ 不定的
设 $A, \mathrm{~B}$ 都是 n 阶对称矩阵，则下面结论中不正确的是
$\text{A.}$ $A+B$ 也是对称矩阵
$\text{B.}$ $A^m+B^m$ （其中 $m$ 是正整数）也是对称矩阵
$\text{C.}$ $B A^T+A B^T$ 也是对称矩阵
$\text{D.}$ $A B$ 也是对称矩阵
行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 4 & -8 \\ 1 & 5 & 25 & 125 \\ 1 & -3 & 9 & -27\end{array}\right|$ 的值是 $(\quad)$
$\text{A.}$ 34992
$\text{B.}$ 2688
$\text{C.}$ -34992
$\text{D.}$ 81
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times m$ 矩阵，则（）
$\text{A.}$ 当 $m>n$ 时，必有行列式 $|A B|=0$
$\text{B.}$ 当 $m>n$ 时，必有行列式 $|A B| \neq 0$
$\text{C.}$ 当 $m < n$ 时，必有行列式 $|A B|=0$
$\text{D.}$ 当 $m < n$ 时，必有行列式 $|A B| \neq 0$
$n$ 阶矩阵 $A$ 与对角矩阵相似的充分必要条件是
$\text{A.}$ $A$ 是对称矩阵
$\text{B.}$ $A$ 有 n 个线性无关的特征向量
$\text{C.}$ $A$ 有 n 个互不相等的特征值
$\text{D.}$ $A$ 有 n 个互不相等的特征向量
设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，则下列结论中错误的是（ ）
$\text{A.}$ 若 $A$ 可逆，则 $A$ 的全部特征值都不等于 0
$\text{B.}$ 若 $A$ 存在对应特征值 $\lambda$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量，则 $A=\lambda E$
$\text{C.}$ 若 $\lambda_0$ 是 $A$ 的特征值，方程 $\left(\lambda_0 E-A\right) X=0$ 的全部解就是对应 $\lambda_0$ 的全部特征向量
$\text{D.}$ $A$ 与 $A^T$ 有相同的特征值
填空题 （共 16 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A=\left[\begin{array}{lll}8 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1\end{array}\right], A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则 $\left|A^*\right|=$
非齐次线性方程组 $A_{m \times n} x=b$ 有唯一解的充分必要条件是
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1{ }^2+x_2{ }^2+5 x_3{ }^2+2 t x_1 x_2-2 x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 为正定二次型，则 $t$的取值范围是
设行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & -1 & 4 & 1 \\ 3 & 1 & 2 & 2 \\ -1 & 3 & 1 & 4 \end{array}\right|, ~ D$ 的第$i$行第 $j$ 列元素的代数余子式为 $A_{ij}$ ，则
$3 A_{14}+A_{24}+6 A_{34}+2 A_{44}=$
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-x_2^2+x_3^2+2 x_1 x_2+4 x_1 x_3$ 的秩、正惯性指数、负惯性指数依次是
设 4 阶方阵 A 满足条件 $|5 E+A|=0, A \cdot A^T=2 E,|A| < 0$ ，其中 $E$ 是 4 阶单位矩阵．则 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 的一个特征值是
设 $\boldsymbol{a}=[1,4,3]^T, \boldsymbol{b}=[1,-1,2]^T$ ，则 $\left(\boldsymbol{a b}^T\right)^{100}=$
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶方阵，$|\boldsymbol{A}|=2$ ，则 $\left|\boldsymbol{A}^*+3 \boldsymbol{A}^{-1}\right|=$
设 $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3$ 都是三元列向量， $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3\right], \boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{a}_3, \boldsymbol{a}_2,-\boldsymbol{a}_1\right],|\boldsymbol{A}|=2$ ，则 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|=$
设方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ ，则 $(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E})^{-1}=$
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶方阵，$r(\boldsymbol{A})=2, \boldsymbol{u}_1=[2,1,1]^T$ 和 $\boldsymbol{u}_2=[1,0,0]^T$ 是方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的两个解，则方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的通解为
设向量组 $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3, \boldsymbol{a}_4$ 线性无关， $\boldsymbol{b}_1=\boldsymbol{a}_1+\boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{b}_2=2 \boldsymbol{a}_2+\boldsymbol{a}_3, \boldsymbol{b}_3=3 \boldsymbol{a}_3+\boldsymbol{a}_4, \boldsymbol{b}_4=4 \boldsymbol{a}_4+k \boldsymbol{a}_1$ ，则向量组 $\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \boldsymbol{b}_3, \boldsymbol{b}_4$ 线性相关的充要条件是 $k$ 满足
向量 $\boldsymbol{b}=\left[\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 4\end{array}\right]$ 在基 $\boldsymbol{a}_1=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right], \boldsymbol{a}_2=\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 4\end{array}\right], \boldsymbol{a}_3=\left[\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 5\end{array}\right]$ 下的坐标向量为
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶方阵，$|\boldsymbol{A}|=0, \operatorname{tr}(\boldsymbol{A})=1, \operatorname{r}(2 \boldsymbol{E}+\boldsymbol{A})=2$ ，则 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|=$
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+k x_2^2+4 x_3^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 k x_2 x_3$ 为正定二次型的充要条件是 $k$ 满足
设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}k & 2 & 2 & 2 \\ 2 & k & 2 & 2 \\ 2 & 2 & k & 2 \\ 2 & 2 & 2 & k\end{array}\right], r\left(\boldsymbol{A}^*\right)=1$ ，则 $k$ 需满足
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求向量组 $\alpha_1=(2,1,1,1), \alpha_2=(-1,1,7,10), \alpha_3=(3,1,-1,-2), \alpha_4=(8,5,9,11)$ 的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示．
已知 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$ ，求 $A$ 的特征值
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & -2 \\ 2 & -2 & -1\end{array}\right)$ ．
（1）求出 $A$ 的所有特征值。
（2）求正交矩阵 $T$ ，使得 $T^{-1} A T$ 为对角矩阵，并写出该对角矩阵。
计算$ \left|\begin{array}{lllll}
1 & 2 & 2 & 2 & 2 \\
2 & 3 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 3 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 1 & 3 & 1 \\
2 & 1 & 1 & 1 & 3
\end{array}\right|$
已知向量组 $\boldsymbol{a}_1=[1,-2,0,1]^T, \boldsymbol{a}_2=[-1,3,2,-2]^T, \boldsymbol{a}_3=[1,-1,2,0]^T$ ，$\boldsymbol{a}_4=[0,1,3,1]^T, \boldsymbol{a}_5=[2,-6,-5, k]^T$ 的秩为 3 ，求 $k$ 及该列向量组的一个极大无关组，并将其它向量用该极大无关组线性表示
设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{X}=\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{X}+\boldsymbol{E}$ ，求 $\boldsymbol{X}$ ．
当 $a, b$ 满足什么条件时，方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-x_3=0 \\ 2 x_1+3 x_2-x_3=b \\ -x_1-3 x_2+a x_3=-2\end{array}\right.$有唯一解；无解；有无穷多解？并在有无穷多解时，求该方程组的通解．
证明题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设列矩阵 $X=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^T$ 满足 $X^T X=1, E$ 为 $n$ 阶单位阵，$H=E-2 X X^T$ ，证明：$H$ 是对称阵，且 $H H^T=E$
设 n 阶实对称矩阵 $A$ 满足 $A^3-4 A^2+5 A-2 E=0$ ，其中 $E$ 是单位矩阵。求证矩阵 $A$ 是正定阵。
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶实方阵， $\boldsymbol{A}$ 的每个元素都与其对应的代数余子式相等，$|\boldsymbol{A}| \neq 0$ ，证明：$\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵．
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶方阵， $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 分别为 $\boldsymbol{A}$ 的特征值 -1 和 1 对应的特征向量， $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$ ，证明：向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关．