单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，下列选项错误的是（ ）。
$\text{A.}$ $A A ^T= A ^T A$
$\text{B.}$ $(A+E)^2=A^2+2 A+E$
$\text{C.}$ $A ^2{ }^n= A ^{n^2}$
$\text{D.}$ $E + A E - A = E - A E + A$
设 $A = E -2 \alpha ^T \alpha$ ，其中 $\alpha =a_1, a_2, \cdots, a_n^{\prime}$ ，且 $\alpha \alpha ^T=1$ ，则 $A$ 不能满足的结论是
$\text{A.}$ $A ^T= A$
$\text{B.}$ $A ^T= A ^{-1}$
$\text{C.}$ $A A ^T= E$
$\text{D.}$ $A ^2= A$
设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵， $A ^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则（ ）。
$\text{A.}$ $\quad A ^*{ }^*=| A |^{n-1} A$
$\text{B.}$ $A ^*=| A |^{n+1} A$
$\text{C.}$ $A^*=|A|^{n-2} A$
$\text{D.}$ $A ^{* *}=| A |^{n+2} A$
设 $A$ 是 3 阶方阵，将 $A$ 的第 1 列与第 2 列交换得到 $B$ ，再把 $B$ 的第 2 列加到第 3列得到 $C$ ，则满足 $A Q = C$ 的可逆矩阵 $Q$ 为 。
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 为可逆矩阵， $\boldsymbol{X}=\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ 为分块矩阵，则 $\boldsymbol{X}^{-1}=$
设三阶方阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 满足关系式： $\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=6 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ ，其中 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{7}\end{array}\right)$ ，则 $B=$
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{A}^3$ 的秩为
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}a_1 b_1 & a_1 b_2 & \cdots & a_1 b_n \\ a_2 b_1 & a_2 b_2 & \cdots & a_2 b_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \\ a_n b_1 & a_n b_2 & \cdots & a_n b_n\end{array}\right)$ ，其中 $a_i \neq 0, b_i \neq 0(i=1,2, \cdots, n)$ ，则矩阵 $\boldsymbol{A}$的秩 $r(\boldsymbol{A})=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $\alpha =1,2,3, \beta =\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)$ ，设 $A = \alpha ^T \beta$ ，其中 $\alpha ^T$ 是 $\alpha$ 的转置，则 $A ^n=$
设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{B}$ ，求矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，其中 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}4 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 3\end{array}\right)$ ．
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), 3$ 阶方阵 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ 满足
$$
A X B^{-1}-A Y B^{-1}=E, X Y-Y^2=E .
$$
其中 $\boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵，求 $\boldsymbol{Y}$ ．
计算
$$
\begin{aligned}
&D_n=\left|\begin{array}{ccccc}
\alpha+\beta & \alpha \beta & 0 & \cdots & 0 \\
1 & \alpha+\beta & \alpha \beta & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \alpha+\beta & \cdots & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \alpha+\beta
\end{array}\right|_{(n)}
\end{aligned}
$$
计算
$$
D_n=\left|\begin{array}{ccccc}
x & a & a & \cdots & a \\
-a & x & a & \cdots & a \\
-a & -a & x & \cdots & a \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & a \\
-a & -a & -a & \cdots & x
\end{array}\right|
$$
计算
$$
D=\left|\begin{array}{ccccc}
x+a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\
a_1 & x+a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & x+a_n
\end{array}\right|(x \neq 0)
$$
求 $n$ 阶三对角线型行列式的值：
$$
D_n=\left|\begin{array}{ccccc}
2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
1 & 2 & 1 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 2 & \cdots & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2
\end{array}\right|
$$