单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $F_1(x)$ 与 $F_2(x)$ 分别为随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 的分布函数. 为使 $F(x)=a F_1(x)-$ $b F_2(x)$ 是某一随机变量的分布函数, 在下列给定的各组数值中应取
$\text{A.}$ $a=\frac{3}{5}, b=-\frac{2}{5}$.
$\text{B.}$ $a=\frac{2}{3}, b=\frac{2}{3}$.
$\text{C.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=\frac{3}{2}$.
$\text{D.}$ $a=\frac{1}{2}, b=-\frac{3}{2}$.
设随机变量 $X$ 的概率密度 $f(x)$ 满足 $f(1+x)=f(1-x)$, 且 $\int_0^2 f(x) d x=0.6$,则 $P\{X < 0\}=$
$\text{A.}$ 0.2 .
$\text{B.}$ 0.3 .
$\text{C.}$ 0.4 .
$\text{D.}$ 0.5 .
设随机变量 $X$ 服从指数分布, 则随机变量 $Y=\min \{X, 2\}$ 的分布函数
$\text{A.}$ 是连续函数.
$\text{B.}$ 至少有两个间断点.
$\text{C.}$ 是阶梯函数.
$\text{D.}$ 恰好有一个间断点.
设随机变量 $X \sim N(0,1)$, 其分布函数为 $\Phi(x)$, 则随机变量 $Y=\min \{X, 0\}$ 的分布函数 $F(y)$ 为
$\text{A.}$ $F(y)= \begin{cases}1, & y>0, \\ \Phi(y), & y \leqslant 0 .\end{cases}$
$\text{B.}$ $F(y)= \begin{cases}1, & y \geqslant 0, \\ \Phi(y), & y < 0 .\end{cases}$
$\text{C.}$ $F(y)= \begin{cases}0, & y \leqslant 0, \\ \Phi(y), & y>0 .\end{cases}$
$\text{D.}$ $F(y)= \begin{cases}0, & y < 0, \\ \Phi(y), & y \geqslant 0 .\end{cases}$
设 $A$ 和 $B$ 是任意两个事件，则下列两个命题，（ ）．
（1）若 $P(A)=P(B)$ ，则 $A=B$ ；
（2）若 $P(A B)=0$ ，则 $A B=\varnothing$ ．
（2）不正确
$\text{A.}$ （1）正确，
$\text{B.}$ （1）不正确，（2）正确
$\text{C.}$ （1），（2）均正确
$\text{D.}$ （1），（2）均不正确
设 $A, B, C$ 为三个随机事件，且 $A$ 与 $C$ 相互独立，$B$ 与 $C$ 相互独立，则 $A \cup B$ 与 $C$ 相互独立的充分必要条件是（ ）。
$\text{A.}$ $A$ 与 $B$ 相互独立
$\text{B.}$ $A$ 与 $B$ 互不相容
$\text{C.}$ $A B$ 与 $C$ 相互独立
$\text{D.}$ $A B$ 与 $C$ 互不相容
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设二维随即变量 $(X, Y)$ 服从 $N\left(\mu, \mu ; \sigma^2, \sigma^2 ; 0\right)$ ，则 $E\left(X Y^2\right)=$
设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & x < -1, \\ \frac{5 x+7}{16}, & -1 \leqslant x < 1, \\ 1, & x \geqslant 1 .\end{array}\right.$ ，则 $P\left(X^2=1\right)=$
设 $X$ 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次射击命中概率为 0.4 ，则 $E\left(X^2\right)=$
设随机变量 X 服从泊松分布，且 $\mathrm{P}\{X=1\}=\mathrm{P}\{X=2\}$ ，则 $\mathrm{P}\{X=3\}=$
假设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的数学期望都等于 1 ，方差都等于 2 ，其相关系数为 0.25 ，求随机变量 $U=X+2 Y$ 和 $V=X-2 Y$ 的相关系数 $\rho$ ．
某人衣袋中有两枚硬币，一枚是均匀的，另一枚两面都是正面．
（I）如果他随机取一枚抛出，结果出现正面，则该枚硬币是均匀的概率为 $\_\_\_\_$
（II）如果他将这枚硬币又拋一次，又出现正面，则该枚硬币是均匀的概率为 $\_\_\_\_$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}2 e^{-(2 x+y)}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
求: (1) $f_{X \mid Y}(x \mid y), f_{Y \mid X}(y \mid x)$;
(2) $P\{X \leqslant 2 \mid Y \leqslant 1\}$.
设 $X$ 表示某种电子元件的寿命，$F(x)$ 为其分布函数。若假设元件无老化，即元件在时刻 $x$ 正常工作的条件下，其失效率保持为某个常数 $\lambda$ ，与 $x$ 无关。试证明 $X$ 服从指数分布。
设随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)=\frac{1}{2} e^{-|x|}, x \in(-\infty,+\infty)
$$
证明：$X$ 与 $|X|$ 不独立．
已知二维随机向量 $(X, Y)$ 的联合密度函数为
$$
p(x, y)=A e^{-\left[(x+5)^2+8(x+5)(y-3)+25(y-3)^2\right]}
$$
求：（1）系数 $A$ ；
（2）$E X, E Y, D X$ 和 $D Y$ ；
（3）$\rho_{X Y}$ ；
（4）$X$ 和 $Y$ 的分布．
设 随 机 变 量 $x$ 的 概率密度为 $f_x x=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2},-1 < x < 0 \\ \frac{1}{4}, 0 \leq x < 2 \\ 0, \text { 其他 }\end{array}\right.$ 令 $Y=X^2, F_{x, y}$ 为二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数．
（I）求 $Y$ 的概率密度 $f_Y y$ ；（II） $\operatorname{Cov}(X, Y)$ ；（III）$\quad F\left(-\frac{1}{2}, 4\right)$ ．
设 $X, Y$ 的联合密度函数为 $f(x, y)= \begin{cases}e^{-(x+y)}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$求：
（I）求条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ ；
（II）求 $Z=2 X-Y$ 的密度函数；
（III）求 $E(X+Y)$ ；
（IV）求联合分布函数 $F(x, y)$ ．