单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
若 $z=-1+\sqrt{3} \mathrm{i}$, 则 $\frac{z}{z \bar{z}-1}=(\quad)$
$\text{A.}$ $-1+\sqrt{3} \mathrm{i}$
$\text{B.}$ $-1-\sqrt{3} \mathrm{i}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{i}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{i}$
某社区通过公益讲座以及普及社区居民的垃圾分类知识. 为了解讲座效果, 随机抽取 10 位社区居民, 让他们在讲坐前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷, 这 10 位社区居 民在讲库前和讲座后问卷答题的止确率如下图:
则
$\text{A.}$ 讲座朔问卷答题的正确率的中位数小于 $70 \%$
$\text{B.}$ 讲库后问卷答题的正确率的平均数大于 $85 \%$
$\text{C.}$ 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
$\text{D.}$ 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
设全集 $U=\{-2,-1,0,1,2,3\}$, 集合 $A=\{-1,2\}, B=\left\{x \mid x^{2}-4 x+3=0\right\}$, 则 $\complement_{U}(A \cup B)=$
$\text{A.}$ $\{1,3\}$
$\text{B.}$ $\{0,3\}$
$\text{C.}$ $\{-2,1\}$
$\text{D.}$ $\{-2,0\}$
4. 如图, 网格纸上绘制的是一个多面体的三视图, 网格小正方系的边长为 1 , 则该多而体的体积为
$\text{A.}$ 8
$\text{B.}$ 12
$\text{C.}$ 16
$\text{D.}$ 20
函数 $y=\left(3^{x}-3^{-x}\right) \cos x $ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $ 的图像大致为
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
当 $x=1$ 时, 函数 $f(x)=a \ln x+\frac{b}{x}$ 取得最大值 $-2$, 则 $f^{\prime}(2)=$
$\text{A.}$ $-1$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $1$
在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 已知 $B_{1} D$ 与平而 $A B C D$ 和平而 $A A_{1} B_{1} B$ 所成的角均为 $30^{\circ}$, 则
$\text{A.}$ $A B=2 A D$
$\text{B.}$ $A B$ 与平面 $A B_{1} C_{1} D$ 所成的角为 $30^{\circ}$
$\text{C.}$ $A C=C B_{1}$
$\text{D.}$ $B_{1} D$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成的角为 $45^{\circ}$
沈括的《梦溪笑谈》是中国古代科技史上的杰作, 其中收灵了计算损弧长度的 “会 圆术”, 如图, $A B$ 是以为 $O$ 貮心, $O A$ 为半径的圆弧, $C$ 是 $A B$ 的中点, $D$ 在 $A B \mathrm{}$ "会圆术"给出 $A B$ 的弧长的近似值 $s$ 的计算公式: $s=A B+\frac{C D^{2}}{O A}$. 当 $O A=2, \angle A O B=60^{\circ}$ 时, $s=$
$\text{A.}$ $\frac{11-3 \sqrt{3}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{11-4 \sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{9-3 \sqrt{3}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{9-4 \sqrt{3}}{2}$
甲、乙两个圆锥母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为$2\pi$， 侧面积分布是 $S_甲$和$S_乙$，提交分布为$V_甲$和$V_乙$，若 $\dfrac{S_甲}{S_乙}=2$， 则$\dfrac{V_甲}{V_乙}=$
$\text{A.}$ $\sqrt{5}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{10}$
$\text{D.}$ $\frac{5 \sqrt{10}}{4}$
椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的厇页点为 $A$, 点 $P, Q$ 均在 $C$ 上, 且旲于 $y$ 轴对称. 若 直线 $A P, A Q$ 的斜率之积为 $\frac{1}{4}$, 则的离心率为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
已知 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)$ 区间在 $(0, \pi)$ 上恰有三个极值点, 两个零点, 则 $\omega$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $\left[\frac{5}{3}, \frac{13}{6}\right)$
$\text{B.}$ $\left[\frac{5}{3}, \frac{19}{6}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{13}{6}, \frac{8}{3}\right]$
$\text{D.}$ $\left(\frac{13}{6}, \frac{19}{6}\right]$
已知 $a=\frac{31}{32}, b=\cos \frac{1}{4}, c=\frac{1}{4} \sin \frac{1}{4} $ 则
$\text{A.}$ $c>b>a$
$\text{B.}$ $b>a>c$
$\text{C.}$ $a>b>c$
$\text{D.}$ $a>c>b$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$, 且 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=3$, 则 $(2 \vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{b}=$
若双曲线 $y^{2}-\frac{x^{2}}{m^{2}}=1(m>0)$ 的渐近线与圆 $x^{2}+y^{2}-4 y+3=0$ 相切, 则 $m=$
从正方体的 8 个顶点中任选 4 个, 则这 4 个点在同一平面上的概率为
已知 $\triangle A B C$ 中, 点 $D$ 在边 $B C$ 上, $\angle A D B=120^{\circ}, A D=2, C D=2 B D$. 当 $\frac{A C}{A B}$ 取 得最小值时, $B D=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的 讨 $n$ 项和. 已知 $\frac{2 S_{n}}{n}+n=2 a_{n}+1$.
(1) 证明: $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列:
(2) 若 $a_{4}, a_{7}, a_{9}$ 成等比数列, 求 $S_{n}$ 的最小值.
在四棱锥 $P-A B C D$ 中, $P D \perp$ 底面 $A B C D$, $C D / / A B, A D=D C=C B=1, A B=2, D P=\sqrt{3}$.
(1) 证明: $B D \perp P A$;
(2) 求 $P D$ 与平面 $P A B$ 所成的角的正弦值.
甲、乙两个学校进行体育比赛, 比赛共设三个项目, 每个项目胜方得 10 分, 负方得 0 分, 没有平局. 三个项目比赛结束后, 总得分㐫的学䘨获得冠军. 已知甲学校在三个 项目中获胜的概率分别为 $0.5,0.4,0.8$, 各项目的比赛结果相互独立.
(1) 求甲学校获得冠军的概率;
（2）用 $X$ 表示乙学校的总得分, 求 $X$ 的分布列与期望.
设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$ ， 点 $D(p, 0)$, 过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M, N$ 两点, 当直线 $M D \perp x$ 轴时, $|M F|=3$.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 设直线 $M D 、 N D$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $A, B$, 记直线 $M N 、 A B$ 的倾斜角分 别为 $\alpha, \beta$, 当 $\alpha-\beta$ 取得最大值时, 求直线 $A B$ 的方程.
已知函数 $f(x)=\frac{e^{x}}{x}-\ln x+x-a$.
(1) 若 $f(x) \geqslant 0$, 求 $a$ 的取值范围;
(2) 证朋: 若 $f(x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$, 则 $x_{1} x_{2} < 1$.
在直角坐标系 $x O y$ 中1, 曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2+t}{6} \\ y=\sqrt{t}\end{array}\right.$, ( $t$ 是参数), 曲线 $C_{2}$ 的参数方程) $\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{2+s}{6}, \\ y=-\sqrt{s}\end{array},(s\right.$ 是参数)
(1) 写出 $C_{1}$ 的普通方程;
(2) 以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴建立极坐标系, 曲线 $C_{3}$ 的极坐标方程为
$2 \cos \theta-\sin \theta=0$, 求 $C_{3}$ 与 $C_{1}$ 交点的直角坐标, 及 $C_{3}$ 与 $C_{2}$ 交点们直角坐标.
已知正实数 $a \cdot b \cdot c$ 满足 $a^{2}+b^{2}+4 c^{2}=3$
求证: (1) $a+b+2 c \leq 3$.
(2)若 $b=2 c$. 则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{c} \geq 3$.