题号:1027    题型:单选题    来源:2022 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国甲卷)
已知 $a=\frac{31}{32}, b=\cos \frac{1}{4}, c=\frac{1}{4} \sin \frac{1}{4} $ 则
$A.$ $c > b > a$ $B.$ $b > a > c$ $C.$ $a > b > c$ $D.$ $a > c > b$
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答案:
A

解析:

构造函数 $h(x)=1-\frac{1}{2} x^{2}-\cos x, x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$,
则 $g(x)=h^{\prime}(x)=-x+\sin x, \quad g^{\prime}(x)=-1+\cos x \leqslant 0$
所以 $g(x) \leqslant g(0)=0$, 因此, $h(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上递减, 所以 $h\left(\frac{1}{4}\right)=a-b < h(0)=0$, 即 $a < b$.
另方而, $\frac{c}{b}=\frac{4 \sin \frac{1}{4}}{\cos \frac{1}{4}}=\frac{\tan \frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}$, 疒然 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时, $\tan x > x$,
所以 $\frac{c}{b}=\frac{4 \sin \frac{1}{4}}{\cos \frac{1}{4}}=\frac{\tan \frac{1}{4}}{\frac{1}{4}} > 1$, 即 $b < c$.
因此 $c > b > a$.
即选 A.
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