题号:1037    题型:填空题    来源:2022 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国甲卷)
在直角坐标系 $x O y$ 中1, 曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2+t}{6} \\ y=\sqrt{t}\end{array}\right.$, ( $t$ 是参数), 曲线 $C_{2}$ 的参数方程) $\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{2+s}{6}, \\ y=-\sqrt{s}\end{array},(s\right.$ 是参数)
(1) 写出 $C_{1}$ 的普通方程;
(2) 以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴建立极坐标系, 曲线 $C_{3}$ 的极坐标方程为
$2 \cos \theta-\sin \theta=0$, 求 $C_{3}$ 与 $C_{1}$ 交点的直角坐标, 及 $C_{3}$ 与 $C_{2}$ 交点们直角坐标.
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答案:
(1) 由 $C_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2+t}{6} \\ y=\sqrt{t}\end{array}\right.$ 消去参数 $t$ 得 $y^{2}=6 x-2(y \geqslant 0)$.

(2) $\mathrm{C}: 2 \cos \theta-\sin \theta=0$, 两边乘 $\rho, \Rightarrow 2 \rho \cos \theta-\rho \sin \theta=0$.
$\therefore C_{a}: y=2 x$
取立 $\left\{\begin{array}{c}y^{2}=6 x-2(y \geq 0) \\ y=2 x\end{array} \quad\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2} \\ y=1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=2\end{array}\right.$
C. 消去参数 $\mathrm{s}$ 得 $y^{2}=-6 x-2(y \leqslant 0)$
联讧 $\left\{\begin{array}{c}y^{2}=-6 x-2(y \leq 0) \text { 解得 }\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ y=2 x\end{array} \quad \text { 或 }\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2} \\ y=-1\end{array}\right.\right.\end{array}\right.$


综上所述 $ C_{3} $与$ C_{1}$ 的交点为 $\left(\frac{1}{2}, 1\right) $ 和 $(1,2)$

$ C_{3}$与$C_{2}$ 的交点为 $(-1,-2) $ 和 $ \left(-\frac{1}{2},-1\right)$
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