题号:1034    题型:填空题    来源:2022 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国甲卷)
甲、乙两个学校进行体育比赛, 比赛共设三个项目, 每个项目胜方得 10 分, 负方得 0 分, 没有平局. 三个项目比赛结束后, 总得分㐫的学䘨获得冠军. 已知甲学校在三个 项目中获胜的概率分别为 $0.5,0.4,0.8$, 各项目的比赛结果相互独立.
(1) 求甲学校获得冠军的概率;
(2)用 $X$ 表示乙学校的总得分, 求 $X$ 的分布列与期望.
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答案:
(1) 记甲学校获得冠军为事件 $A$,
则 $P(A)=0.5 \times 0.4 \times(1-0.8)+0.5 \times(1-0.4) \times 0.8+(1-0.5) \times 0.4 \times 0.8+0.5 \times 0.4 \times 0.8=0.6$
甲学校犾得冠军的概率是 $0.6$.
(2) $X$ 的可能取值为 $0,10,20,30$
则 $P(X=0)=0.5 \times 0.4 \times 0.8=0.16$
$$
\begin{aligned}
&P(X=10)=0.5 \times 0.4 \times(1-0.8)+0.5 \times(1-0.4) \times 0.8+(1-0.5) \times 0.4 \times 0.8=0.44 \\
&P(X=20)=0.5 \times(1-0.4) \times(1-0.8)+(1-0.5) \times(1-0.4) \times 0.8+(1-0.5) \times 0.4 \times(1-0.8)=0.34 \\
&P(X=30)=(1-0.5) \times(1-0.4) \times(1-0.8)=0.06
\end{aligned}
$$
$X$ 的期望值为 $E(X)=0 \times 0.16+10 \times 0.44+20 \times 0.34+30 \times 0.06=13$.
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