单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $a_1=1, \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\lambda n^2-2 n}{n+1}(\lambda \geq 0, \lambda \in \mathrm{R})$ ．下列选项中正确的有
$\text{A.}$ 存在 $\lambda$ ，使存在正整数 $N$ ，使 $n \geq N$ 时，$a_{n+1} < a_n$ 恒成立
$\text{B.}$ 存在 $\lambda$ ，使不存在正整数 $N$ ，使 $n \geq N$ 时，$a_{n-1} < a_n$ 恒成立
$\text{C.}$ 存在 $\lambda$ ，使存在正整数 $N$ ，使 $n \geq N$ 时，$a_{n+1}>a_n$ 恒成立
$\text{D.}$ 存在 $\lambda$ ，使不存在开整数 $N$ ，使 $n \geq N$ 时，$a_{n 1}>a_n$ 怛成立
正整数 $a, b, c \in\{1,2, \cdots, 100\}$ ，且 $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}, a>b>c$ ，满足这样条件的 $(a, b, c)$ 的组数为 ．
$\text{A.}$ 60
$\text{B.}$ 90
$\text{C.}$ 75
$\text{D.}$ 86
从棱长为 1 个单位长度的正方体的底面一顶点 A 出发，每次均随机沿一条棱行走一个单位长度，下列选项中正确的有（ ）。
$\text{A.}$ 进行 4 次这样的操作回到 $A$ 的概率为 $\frac{1}{2} \cdot\left(1+\frac{1}{3^4}\right)$
$\text{B.}$ 进行 2 次这样的操作回到 $A$ 的概率为 $\frac{5}{9}$
$\text{C.}$ 进行 4 次这样的操作回到 $A$ 的概率为 $\frac{1}{2} \cdot\left(1-\frac{1}{3^4}\right)$
$\text{D.}$ 进行 2 次这样的操作回到 $A$ 的概率为 $\frac{1}{3}$
圆周上 $A_1, A_2, \ldots, A_7$ 七个点两两相连，任选两条线段，则这两条线段无公共点的概率是（）．
$\text{A.}$ $\frac{3}{7}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{7}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
已知 $2 a_n a_{n-1}-3 a_{n+1}+1=0, a_1=\frac{1}{3}$ ，下列选项中正确的有 ．
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow 1 \infty} a_n=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $S_n>\frac{n-1}{6}$
$\text{C.}$ $\left\{\frac{a_n-1}{a_n+1}\right\}$ 是等比数列
$\text{D.}$ $S_n < \frac{n}{2}$
$f(x)$ 是在 $[0,1]$ 大的连续函数，设 $A_n=\sum_{k=1}^n\left|f\left(\frac{k-1}{n}\right)-f\left(\frac{k}{n}\right)\right|$ ，则 ．
$\text{A.}$ $A_n \leq A_{2 n}$
$\text{B.}$ $A_n \leq A_{n-m}$
$\text{C.}$ $2 A_n \leq A_{2 n}$
$\text{D.}$ $2 A_n \leq A_{n+m}$ ．
多选题 （共 9 题 ），每题有多个选项正确
$a+\mathrm{e}^a=b+\ln b=4$ ，则
$\text{A.}$ $a \ln b+b \ln a>1$
$\text{B.}$ $a \ln b+b \ln a=1$
$\text{C.}$ $a b < 4$
$\text{D.}$ $a b>\mathrm{e}$
某城市内有若干街道，所有街道都是正东西或南北向，某人站在某段正中央开始走，每个点至多经过一次，最终回到出发点。已知向左转了 100 次，则可能向右转了 次．
$\text{A.}$ 96
$\text{B.}$ 98
$\text{C.}$ 104
$\text{D.}$ 102
已知 $a_1=1, a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n^2}$ ，下列选项中正确的有
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_n}{\sqrt[3]{n}}=\sqrt[3]{3}$
$\text{B.}$ $\left[a_{400}\right]=20$
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$
$\text{D.}$ $\left[a_{900}\right]=30$
直线 $l: a x+b y+c=0, P\left(x_1, y_1\right), Q\left(x_2, y_2\right), x=\frac{a x_1+b y_1+c}{a x_2+b y_2+c}$ ，下列选项中正确的有
$\text{A.}$ 若 $x>1$ ，则 $l$ 与射线 $P Q$ 相交
$\text{B.}$ 若 $x=1$ ，则 $l$ 与射线 $P Q$ 平行
$\text{C.}$ 若 $x=-1$ ，则 $l$ 与射线 $P Q$ 垂直
$\text{D.}$ 若 $x$ 存在，则 $Q$ 在 $l$ 上
在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A=60^{\circ}, \angle B A P=\angle C A P, P$ 在 $\triangle A B C$ 内部，延长 $B P$ 交 $A C$ 于 $Q$ ，且 $\frac{1}{|B P|}+\frac{1}{|C P|}=\frac{1}{|P Q|}$ ，则 $\angle B P C=$（ ）．
$\text{A.}$ $140^{\circ}$
$\text{B.}$ $130^{\circ}$
$\text{C.}$ $110^{\circ}$
$\text{D.}$ $120^{\circ}$
几个人讨论某个比赛的成绩，讨论内容如下：
张三：甲是第 4 名；
李四：乙不是第 2 或第 4 名；
王五：丙排在乙前面；
刘六：」是第1名
已知只有一个人说假话，下列正确的是
$\text{A.}$ 丙是第 1 名
$\text{B.}$ 丁是第 2 名
$\text{C.}$ 乙是第 3 名
$\text{D.}$ 甲是第 4 名
正四面体 $A B C D$ 中，梭长为 $2 \sqrt{2}$ ．点 $P$ 满足 $|\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}|=2$ ，则 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A D}$ 的（ ）
$\text{A.}$ 最小值为 $4-2 \sqrt{2}$ ．
$\text{B.}$ 最大值为 $2+2 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ 最小值为 $2-2 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ 最大值为 $4+2 \sqrt{2}$
已知 $f(x)=\frac{x-1}{\mathrm{e}^x}$ ，下列选项中正确的有 ．
$\text{A.}$ $f(x)=a$ 两根 $x_1, x_2$ ，且 $x_1+x_2=4$
$\text{B.}$ $f(x)=a$ 两根，则 $a \in\left(0, \frac{1}{\mathrm{e}^2}\right)$
$\text{C.}$ 任意 $m \in \mathbf{R}$ ，函数 $g(x)=|f(x)+m|$ 都有最小值
$\text{D.}$ 任意 $m \in \mathbf{R}$ ，使得函数 $g(x)=|f(x)+m|$ 有最人值
过抛物线 $x^2=4 y$ 焦点 $F$ 的直线与抛物线交于点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$ 两点，$l$ 过 $B$ 且与抛物线在 $A$ 处的切线平行，$l$ 交抛物线与另一点 $D\left(x_3, y_3\right)$ ，交 $y$ 轴于 $E$ 点，则下列选项中正确的有 ．
$\text{A.}$ $x_2+x_3=3 x_1$
$\text{B.}$ $|F B|=|F E|$
$\text{C.}$ $\triangle A B D$ 面积的最小值为 16
$\text{D.}$ $y_1 y_2=1$
填空题 （共 13 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $\{\sin \theta, \sin 2 \theta, \sin 3 \theta\}=\{\cos \theta, \cos 2 \theta, \cos 3 \theta\}$ ，则 $\theta=$
在平面直角坐标系内，$M \in\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^2}{200}+\frac{y^2}{8} \leq 1\right.\right\}, A(2,1)$ ，若 $\triangle O M A$ 的面积不超过 3，则满足条件的整点 $M$ 个数为
$a_1, a_2, \ldots a_{10}$ 足一个 $1,2,3, \ldots, 10$ 的排列，要求 $a_{i-1}$ 和 $a_{i+1}$ 一定有一个人于 $a_i(i=2,3, \cdots, 9)$ ，则满足的排列的总数为
$\tan \left(\arctan 2+\arctan \frac{2}{2^2}+\cdots+\arctan \frac{2}{12^2}\right)=$
已知 $a, b \in \mathbf{N}^*, a+b \leq 2024$ ，使得 $a b^2+b+7$ 整除 $a^2 b+a+b$ 的解的 $(a, b)$ 有 $\_\_\_\_$组．
点集 $S=\left\{(x, y) \mid x \leq 5, y \leq 4, x, y \in \mathrm{~N}^*\right\}$ ，则山 $S$ 中的点可组成 $\_\_\_\_$个不同的三角形
已知复数 $|z|=1, z^n=z+\sqrt{2}$ ，则 $n$ 的最小值为
已知 $f(a, b, c)=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}(a, b, c \geq 0)$ ，则 $f(a, b, c)$ 的最大值、最小值分别为
已知 $x^3+p x^2+q x+r=0$ 在 $(0,2)$ 上三个不等实根，则 $p+q+r$ 的可能取值为
四面体 $V-A B C$ 中，$V A=V B=2 \sqrt{2}, V C=3, C A=C B=4$ ，求 $C A$ 与 $V B$ 所成角的余弦值的取值范围
双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ，斜率为 1 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点，$D$ 为 $C$ 上另一点，$A D \perp B D, \triangle A O D$ ， $\triangle B O D$ 重心分别为 $P, Q, \triangle A B D$ 外心为 $M$ ，若 $k_{O P} \cdot k_{O Q} \cdot k_{O M}=-8$ ，则双曲线的离心率为
$f(x)=\ln x+\cos x$ 的所有极值点依次为的 $a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n-1}-a_n\right|=$
$f(u)=u^2+a u+b-2, u=x+\frac{1}{x}, f(u)$ 有零点，则 $a^2+b^2$ 的最小值为