解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求下列级数 $I=\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的和：
(1) $a_n=3^{n-1} \cdot \sin ^3\left(\frac{\theta}{3^n}\right)$.
(2) $a_n=\frac{1}{2^n} \tan \frac{\theta}{2^n}(\theta \neq 0)$.
证明题 （共 27 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $I=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-\sqrt{n^2-1}}{\sqrt{n(n+1)}}$.
计算 $I=\sum_{n=1} \frac{3 n-1}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$.
求下列级数 $I=\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的和：
(1) $a_n=\sin \frac{1}{2^n} \cdot \cos \frac{3}{2^n}$.
(2) $a_n=\arctan \frac{1}{2 n^2}$.
试证明下列命题：
（1）设 $a>0, b>a+1$ ，则 $I=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(a+1) \cdots(a+n-1)}{b(b+1) \cdots(b+n-1)}=\frac{a}{b-a-1}$ ．
给定 $k(k \geqslant 2)$ 值，试证明级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{(n-1) k+1}+\frac{1}{(n-1) k+2}+\cdots+\frac{1}{n k-1}-\frac{x}{n k}\right]
$$
只在唯一的 $x$ 点上收敛，求此点及级数的和．
试证明下列级数的发散性（用必要条件）：
（1）$I=\sum_{n=1}^{\infty}\left(n^2+2\right) \ln \left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)$ ．
（2）$I=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2 n^2-3}{2 n^2+1}\right)^{n^2}$ ．
（3）$I=\sum_{n=1}^{\infty} \cos (n \alpha)$ ．
（4）$I=\sum_{n=1}^{\infty}(\cos n)^n$ ．
求级数 $\frac{a}{1-a^2}+\frac{a^2}{1-a^4}+\frac{a^4}{1-a^8}+\cdots$ 之和．
试证明下列命题：
（1）设 $f(x)$ 在 $[1, \infty)$ 上可微，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $[1, \infty)$ 上递增．若 $f(x) \rightarrow l(x \rightarrow +\infty)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} f^{\prime}(n)$ 收敛。
（2）设 $a_n>0(n \in \mathbf{N})$ 。若 $\sum_{k=1}^n a_k / n \geqslant \sum_{k=n+1}^{2 n} a_k$ ，则 $I=\sum_{n=1}^{\infty} a_n \leqslant 2 a_1 \mathrm{e}$ 。
试证明下列命题：
（1）设级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n / n\right)$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k=0$ 。
（2）设 $a_n>0(n \in \mathbf{N})$ ．若 $\sum_{n=1}^{\infty} 1 / a_n$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k=+\infty$ ．
解答下列问题：
（1）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \sin \frac{\pi}{n+k}$ 之值。
（2）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^{-1}$ 之值。
设 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $0 < a_n \leqslant a_{2 n}+a_{2 n+1}(n=1,2, \cdots)$ ，试证明 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散。
试证明下列命题：
（1）设 $0 < a_n < 1(n=1,2, \cdots)$ ，若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1-a_n\right)$ 收敛。
（2）设 $\left\{a_n\right\}$ 是递减正数列，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=a=0$ 当且仅当 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-a_{n+1} / a_n\right)$ 发散．
判别下列级数 $I=\sum_{n=1} a_n$ 的敛散性：
（1）$a_n=\frac{1}{n^{1+1 / n}}$ ．
（2）$a_n=\frac{\sqrt[n]{2}-1}{n^p}$ ．
（3）$a_n=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n^p}$ ．
判别下列级数 $I=\sum_{n=1} a_n$ 的敛散性：
（1）$a_n=\left(\frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n}\right)^p(p>0)$ ．
（2）$a_n=\left(\mathrm{e}^{1 / n}-\sin \frac{1}{n}\right)^{n^p}-1$ ．
判别下列级数 $I=\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的敛散性：
（1）$a_n=\left(1-\frac{\ln n}{n}\right)^{2 n}$ ．
（2）$a_n=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n \ln n}$ ．
试证明下列命题：
若 $a_n \neq 1(n=1,2, \cdots)$ ，且 $a_n \rightarrow 1(n \rightarrow \infty)$ ，则级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\sqrt[n]{a_n}\right) \quad \text { 与 } \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-a_n}{n}
$$
同敛散。特例：$\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\sqrt[n]{1-1 / \ln ^2 n}\right)$ 收敛
判别下列数列 $\left\{a_n\right\}$ 的敛散性：
（1）$a_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n}$ ．
（2）$a_n=\sum_{k=1}^n \ln k / k-\ln ^2 n / 2$ 。
判别下列级数的敛散性：
（1）$\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\cdots=\sum_{n=1} a_n$ ．
（2）$\frac{a}{1+a}+\frac{2 a^2}{1+a^2}+\frac{4 a^4}{1+a^4}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ．
判别下列级数 $I=\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的敛散性：
（1）$a_n=(\sqrt[n]{n}-1)^n$ ．
（2）$a_n=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n(n+1)}$ ．
（3）$a_n=\left(\frac{n^2+1}{n^2+n+1}\right)^{n^2}$ ．
（4）$a_n=\frac{n^{n+1}}{\left(3 n^2+2 n+1\right)^{(n+3) / 2}}$ ．
（5）$a_n=\left(\frac{1+\cos n}{2+\cos n}\right)^{2 n-\ln n}$ ．
试证明下列命题：
（1）设 $a_1>1, a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n^\alpha}(n=1,2, \cdots), 0 < \alpha < 1$ ，则 $I=\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。
（2）设 $a_n>0(n=1,2, \cdots)$ 。若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n / n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^2+k^2}\right]$ 收敛。
判别下列级数 $I=\sum_{n=1} a_n$ 的敛散性：
（1）$a_n=\frac{1}{2^{\sqrt{n}}}$ ．
（2）$a_n=\frac{1}{a^{\ln n}}(a>0)$ ．
级数 $1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots$ 发散。
试证明下列命题：
（1）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n=0$ ，则 $I=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N\left|S_n\right|=0\left\{S_n=\sum_{k=1}^n a_k\right\}$ 。
（2）设 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n=0$ ，且对 $k \in \mathbf{N}$ ，级数 $S_k=\sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{e}^{-n / k} a_n$ 收敛。若 $\lim _{k \rightarrow+\infty} S_k= l$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n=l$ ．
判别下列级数 $I=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n$ 的敛散性：
（1）$a_n=\frac{(\ln n)^\alpha}{n^\beta}(\alpha, \beta>0)$ ．
（2）$a_n=\frac{\ln \ln (n+2)}{\ln (n+1)}$ ．
（3）$a_n=\frac{\ln n}{(1+\ln n)^2}$ ．
判别下列级数 $I=\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的绝对收敛性：
（1）$a_n=\frac{\sin 3 n}{n \cdot \ln n \cdot \ln ^2 n}(n \geqslant 2)$ ．
（2）$a_n=(-1)^n \frac{(2 n)!!}{(n+1)^n}$ ．
试证明下列命题：
（1）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，且 $n a_n \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_n-a_{n+1}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。
（2）（Kronecker）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，$\left\{p_n\right\}$ 是递增正数列且 $p_n \rightarrow+\infty(n \rightarrow \infty)$ ，则
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{p_n} \sum_{i=1}^n p_i a_i=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 p_1+a_2 p_2+\cdots+a_n p_n}{p_n}=0 .
$$
特别有（i）若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n k a_k / n=0$ 。
（ii）若 $\left\{a_n\right\}$ 是递减趋于零的数列，且 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n \sum_{k=1}^n b_k=0$ ．
判别下列级数 $I=\sum_{n=2} a_n$ 的收敛性：
（1）$a_n=\cos \left(n \pi+\frac{\pi}{6}\right) \ln \left[1+\frac{2}{n}\right]$ ．
（2）$a_n=\frac{\sin (2 n) \cdot \ln ^2 n}{n^a}(\alpha>0)$ ．
（3）$a_n=\frac{\sin (n \alpha) \cdot \cos (1 / n)}{\ln \ln (n+2)}$ ．
（4）$\alpha_n=\frac{\cos (n+\pi / 4)}{\ln (n+1)}$ ．