试证明下列命题：
（1）设 $f(x)$ 在 $[1, \infty)$ 上可微，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $[1, \infty)$ 上递增．若 $f(x) \rightarrow l(x \rightarrow +\infty)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} f^{\prime}(n)$ 收敛。
（2）设 $a_n>0(n \in \mathbf{N})$ 。若 $\sum_{k=1}^n a_k / n \geqslant \sum_{k=n+1}^{2 n} a_k$ ，则 $I=\sum_{n=1}^{\infty} a_n \leqslant 2 a_1 \mathrm{e}$ 。