单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
在长方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$A B=B C=1, A A_1=\sqrt{3}$ ，则异面直线 $A D_1$ 与 $D B_1$ 所成角的余弦值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
已知 $A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1)$ ，则下列向量是平面 $A B C$ 法向量的是（ ）
$\text{A.}$ $(-1,1,1)$
$\text{B.}$ $(1,-1,1)$
$\text{C.}$ $\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$
若直线 $l$ 的方向向量为 $a =(1,0,2)$ ，平面 $\alpha$ 的法向量为 $n =(-2,1,1)$ ，则 ()
$\text{A.}$ $l / / \alpha$
$\text{B.}$ $l \perp \alpha$
$\text{C.}$ $l \subset \alpha$ 或 $l / / \alpha$
$\text{D.}$ $l$ 与 $\alpha$ 斜交
已知两平面的法向量分别为 $m =(0,1,0), n =(0,1,1)$ ，则两平面所成的二面角为（ ）
$\text{A.}$ $45^{\circ}$
$\text{B.}$ $135^{\circ}$
$\text{C.}$ $45^{\circ}$ 或 $135^{\circ}$
$\text{D.}$ $90^{\circ}$
在直三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中，$\angle B C A=90^{\circ}, M, N$ 分别是 $A_1 B_1, A_1 C_1$ 的中点，$B C=C A$ $=C C_1$ ，则 $B M$ 与 $A N$ 所成角的余弦值为（）
$\text{A.}$ $\frac{1}{10}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{30}}{10}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
多选题 （共 1 题 ），每题有多个选项正确
在正三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中，$A B=A A_1=1$ ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{B P}=\lambda \overrightarrow{B C}+\mu \overrightarrow{B B_1}$ ，其中 $\lambda \in[0,1], \mu \in[0,1]$ ，则（ ）
$\text{A.}$ 当 $\lambda=1$ 时，$\triangle A B_1 P$ 的周长为定值
$\text{B.}$ 当 $\mu=1$ 时，三棱锥 $P-A_1 B C$ 的体积为定值
$\text{C.}$ 当 $\lambda=\frac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$ ，使得 $A_1 P \perp B P$
$\text{D.}$ 当 $\mu=\frac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$ ，使得 $A_1 B \perp$ 平面 $A B_1 P$
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P D \perp$ 底面 $A B C D, C D \| A B, A D=D C=C B=1, A B=2, D P=\sqrt{3}$ ．
（1）证明：$B D \perp P A$ ；
（2）求 $P D$ 与平面 $P A B$ 所成的角的正弦值．
如图，四面体 $A B C D$ 中，$A D \perp C D, A D=C D, \angle A D B=\angle B D C, E$ 为 $A C$ 的中点．
（1）证明：平面 $B E D \perp$ 平面 $A C D$ ；
（2）设 $A B=B D=2, \angle A C B=60^{\circ}$ ，点 $F$ 在 $B D$ 上，当 $\triangle A F C$ 的面积最小时，求 $C F$ 与平面 $A B D$ 所成的角的正弦值。
如图，直三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 的体积为 $4, \triangle A_1 B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ．
（1）求 $A$ 到平面 $A_1 B C$ 的距离；
（2）设 $D$ 为 $A_1 C$ 的中点，$A A_1=A B$ ，平面 $A_1 B C \perp$ 平面 $A B B_1 A_1$ ，求二面角 $A-B D-C$ 的正弦值．
如图，$P O$ 是三棱锥 $P-A B C$ 的高，$P A=P B, A B \perp A C, E$ 是 $P B$ 的中点．
（1）证明：$O E / /$ 平面 $P A C$ ；
（2）若 $\angle A B O=\angle C B O=30^{\circ}, P O=3, P A=5$ ，求二面角 $C-A E-B$ 的正弦值．
如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形，$P A \perp$ 底面 $A B C D, E$ 是 $P C$ 的中点．已知 $A B=2, A D=2 \sqrt{2}, P A=2$ ，求异面直线 $B C$ 与 $A E$ 所成的角的大小．
如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形，$E F / / A C, E F=1, \angle A B C=60^{\circ}, C E \perp$ 平面 $A B C D, C E=\sqrt{3}, C D_{=2}, G$ 是 $D E$ 的中点．
（1）求证：平面 $A C G / /$ 平面 $B E F$ ；
（2）求直线 $A D$ 与平面 $A B F$ 所成的角的正弦值．
如图，在直棱柱 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$A D / / B C, \angle B A D=90^{\circ}, A C \perp B D, B C=1, A D=A A_1$ $=3$ 。
（1）求证：$A C \perp B_1 D$ ；
（2）求直线 $B_1 C_1$ 与平面 $A C D_1$ 所成角的正弦值．
如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$A P \perp$ 平面 $P C D, A D / / B C, A B \perp B C, A P=A B=B C=\frac{1}{2} A D$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点，$A C$ 与 $B E$ 相交于点 $O$ ．
（1）证明：$P O \perp$ 平面 $A B C D$ ．
（2）求直线 $B C$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值．
如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$为菱形，点 $E$ 为棱 $P D$ 的中点，$O$ 为边 $A B$ 的中点．（1）求证：$A E \|$ 平面 $P O C$ ；
（2）若侧面 $P A B \perp$ 底面 $A B C D$ ，且 $\angle A B C=\angle P A B=\frac{\pi}{3}, A B=2 P A=4$ ，求平面 $P A D$ 与平面 $P O C$ 的夹角的余弦值．
如图，在棱长均为 2 的三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中，平面 $A_1 C B \perp$ 平面 $A_1 A B B_1, A B_1=A_1 B, O$ 为 $A B_1$ 与 $A_1 B$ 的交点．（1）求证：$A B_1 \perp C O$ ；
（2）求平面 $A C C_1 A_1$ 与平面 $A B C$ 所成锐二面角的余弦值．
已知四棱锥 $P-A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是梯形，$A D / / B C, A B=B C=2, \angle A B C=60^{\circ}, C D \perp A C$ ，平面 $P A B \perp$ 平面 $A B C D$ ，且 $P A=A D, P B=2 \sqrt{5}, E$ 为 $P D$ 中点，$A F \perp P C$ ，垂足为 $F$ ．
（1）求证：$P A \perp$ 平面 $A B C D$ ；
（2）求异面直线 $A B$ 与 $C E$ 所成的角；
（3）求证：$P D \perp E F$ ．
如图，已知四棱锥 $P-A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是直角梯形，$A D / / B C, A D=4, \angle A B C=90^{\circ}, P A \perp$ 平面 $A B C D, P A=A B=B C=2$ ，
（1）求 $P B$ 与 $C D$ 所成的角
（2）平面 $P C D$ 与平面 $P B A$ 所成的锐二面角余弦值
