单选题 （共 17 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $\alpha, \beta \in\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right), \cos (2 \alpha+2 \beta)=-\frac{7}{9}, \sin \alpha \sin \beta=\frac{1}{4}$ ，则 $\cos (\alpha-\beta)=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{6}$
已知 $\alpha, \beta$ 都是锐角， $\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{7}, \cos (\alpha+\beta)=-\frac{3}{5}$ ，则 $\cos \left(\beta+\frac{\pi}{6}\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{-4-12 \sqrt{3}}{35}$
$\text{B.}$ $\frac{4-12 \sqrt{3}}{35}$
$\text{C.}$ $\frac{-12+4 \sqrt{3}}{35}$
$\text{D.}$ $\frac{-12-4 \sqrt{3}}{35}$
已知 $\tan \alpha+\tan \beta=-6, \tan (\alpha+\beta)=-1$ ，则 $\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha-\beta)}=$（ ）
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{2}$
已知角 $\alpha, \beta \in(0, \pi)$ ，且 $\sin (\alpha+\beta)+2 \cos (\alpha-\beta)=0, \sin \alpha \sin \beta+2 \cos \alpha \cos \beta=0$ ，则 $\tan (\alpha+\beta)=$（ ）
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{D.}$ -2
已知 $\alpha, \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \cos (\alpha+\beta)=-\frac{5}{13}, \tan \alpha+\tan \beta=3$ ，则 $\cos (\alpha-\beta)= $
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{7}{13}$
$\text{C.}$ $\frac{4}{7}$
$\text{D.}$ 1
已知角 $\alpha, \beta \in(0, \pi)$ ，且 $\sin (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)=0, \sin \alpha \sin \beta-3 \cos \alpha \cos \beta=0$ ，则 $\tan (\alpha+\beta)=(\quad)$
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 2
已知 $\sin (\alpha-\beta)=\frac{2 \sqrt{2}}{3}, \sin (\alpha+\beta)=-\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则 $\frac{\tan \alpha}{\tan \beta}=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{11}{5}$
$\text{B.}$ $-\frac{11}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{5}{11}$
$\text{D.}$ $-\frac{5}{11}$
已知函数 $f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\left|\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right|$ ，则下列结论正确的是（ ）
$\text{A.}$ $f(x)$ 周期为 $\pi$ ，在 $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{4}\right]$ 上单调递减
$\text{B.}$ $f(x)$ 周期为 $2 \pi$ ，在 $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{4}\right]$ 上单调递减
$\text{C.}$ $f(x)$ 周期为 $\pi$ ，在 $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{4}\right]$ 上单调递增
$\text{D.}$ $f(x)$ 周期为 $2 \pi$ ，在 $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{4}\right]$ 上单调递增
函数 $f(x)=a \sin x+b \sin 2 x+c \sin 4 x\left(a, b, c \in R , a^2+b^2+c^2 \neq 0\right)$ 的周期不可能为（ ）
$\text{A.}$ $\pi$
$\text{B.}$ $2 \pi$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{3}$
要得到函数 $y=3 \cos x$ 的图像，只需将函数 $y=3 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的图像上所有点的
$\text{A.}$ 横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$（纵坐标不变），再向左平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位长度
$\text{B.}$ 横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$（纵坐标不变），再向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度
$\text{C.}$ 横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左平移 $\frac{2 \pi}{3}$ 个单位长度
$\text{D.}$ 横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度
已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)(\omega>0,0 < \varphi < \pi)$ 的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为 $\frac{\pi}{4}$ ，将 $f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度得到函数 $g(x)$ 的图象．若函数 $g(x)$ 的图象在区间 $\left[\frac{3 \pi}{4}, \pi\right]$ 上是增函数，则 $\varphi$ 的取值范围为（ ）
$\text{A.}$ $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{6}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$
已知函数 $f(x)=2 \sin x+3 \cos x$ 在 $x=\varphi$ 处取得最大值，则 $\cos \varphi=()$
$\text{A.}$ $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$
$\text{B.}$ $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$
$\text{C.}$ $-\frac{2 \sqrt{13}}{13}$
$\text{D.}$ $-\frac{3 \sqrt{13}}{13}$
已知函数 $f(x)=\frac{6 \sin x+7-4 \cos ^2 x}{\sin x+1}$ ，则 $f(x)$ 的最小值为（ ）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $\frac{13}{2}$
$\text{D.}$ 5
设 $\alpha, \beta$ 均为锐角，且 $\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)=\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}$ ，则 $\frac{\tan \alpha}{2+\sin ^2 \beta}$ 的最大值是（ ）
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{6}}{6}$
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{6}}{3}$
若 $\sin 2 \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}, \sin (\beta-\alpha)=\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，且 $\alpha \in\left[\frac{\pi}{4}, \pi\right], \beta \in\left[\pi, \frac{3}{2} \pi\right]$ ，则 $\alpha+\beta=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{7 \pi}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{9 \pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{4 \pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{5 \pi}{3}$
化简 $\left(\sin 5^{\circ}+\cos 5^{\circ}\right)\left(1+\sqrt{3} \tan 10^{\circ}\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $\sqrt{2}$
已知角 $\alpha, \beta \in(0, \pi)$ ，且 $\sin (\alpha-\beta)+\cos (\alpha+\beta)=0$ ， $\sin \alpha \sin \beta=3 \cos \alpha \cos \beta$ ，则 $\tan (\alpha-\beta)=$
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 2
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $\alpha, \beta$ 均为锐角且 $\cos \alpha=\frac{1}{7}, \cos (\alpha+\beta)=-\frac{11}{14}$ ，则 $\sin \left(\frac{3 \pi}{2}+2 \beta\right)=$
已知 $\sin \alpha-\cos \beta=3 \cos \alpha-3 \sin \beta$ ，且 $\sin (\alpha+\beta) \neq 1$ ，则 $\sin (\alpha-\beta)=$
若 $\alpha, \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \cos \left(\alpha-\frac{\beta}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}, \sin \left(\frac{\alpha}{2}-\beta\right)=-\frac{1}{2}$ ，则 $\alpha+\beta=$
将函数 $f(x)=\sin 2 x$ 的图象向右平移 $\varphi\left(0 < \varphi < \frac{\pi}{7}\right)$ 个单位后得到函数 $g(x)$ 的图象，若对满足 $\mid f\left(x_1\right)-$ $g\left(x_2\right) \mid=2$ 的 $x_1, ~ x_2$ 有 $\left|x_1-x_2\right|_{\text {min }}=\frac{\pi}{3}$ ，则 $\varphi=$
已知直线 $x=a\left(0 < a < \frac{\pi}{2}\right)$ 与函数 $f(x)=\sin x$ 和函数 $g(x)=\cos x$ 的图象分别交于 $M, N$ 两点，若 $|M N|=\frac{1}{5}$ ，则线段 $M N$ 中点的纵坐标为
函数 $y=\sin ^2 x+2 \cos x, x \in\left[\frac{\pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right]$ 的值域为
若 $\alpha$ 是第三象限角，且 $\sin (\alpha+\beta) \cos \beta-\sin \beta \cos (\alpha+\beta)=-\frac{5}{13}$ ，则 $\tan \alpha$等于