已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)(\omega>0,0 < \varphi < \pi)$ 的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为 $\frac{\pi}{4}$ ，将 $f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度得到函数 $g(x)$ 的图象．若函数 $g(x)$ 的图象在区间 $\left[\frac{3 \pi}{4}, \pi\right]$ 上是增函数，则 $\varphi$ 的取值范围为（ ）
A. $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$
B. $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{6}\right]$
C. $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right]$
D. $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$