已知函数 $f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\left|\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right|$ ，则下列结论正确的是（ ）
A. $f(x)$ 周期为 $\pi$ ，在 $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{4}\right]$ 上单调递减
B. $f(x)$ 周期为 $2 \pi$ ，在 $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{4}\right]$ 上单调递减
C. $f(x)$ 周期为 $\pi$ ，在 $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{4}\right]$ 上单调递增
D. $f(x)$ 周期为 $2 \pi$ ，在 $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{4}\right]$ 上单调递增