单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵， $\boldsymbol{A}$ 的第 2 行乘以 2 为矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，则 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的（ ）为 $\boldsymbol{B}^{-1}$ ．
$\text{A.}$ 第 2 行乘以 2；
$\text{B.}$ 第 2 列乘以 2 ；
$\text{C.}$ 第 2 行乘以 $\frac{1}{2}$ ；
$\text{D.}$ 第 2 列乘以 $\frac{1}{2}$ ．
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关， $\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性相关，则以下命题中，不一定成立的是（ ）。
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1$ 不能被 $\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性表示；
$\text{B.}$ $\boldsymbol{\alpha}_2$ 不能被 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性表示；
$\text{C.}$ $\boldsymbol{\alpha}_4$ 能被 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示；
$\text{D.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性相关．
设实矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{a}_{i j}\right)_{n \times n}$ ，则二次型
$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\sum_{i=1}^n\left(a_{i 1} x_1+a_{i 2} x_2+\cdots+a_{i n} x_n\right)^2
$$
的矩阵为（ ）。
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}$ ；
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}^2$ ；
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ ；
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ ．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为四阶方阵，且秩 $r(\boldsymbol{A})=4, r(\boldsymbol{B})=3, \boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 的伴随矩阵为 $\boldsymbol{A}^*$ 和 $\boldsymbol{B}^*$ ，则 $r\left(\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{B}^*\right)=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ 1 ；
$\text{B.}$ 2 ；
$\text{C.}$ 3 ；
$\text{D.}$ 4 ．
若 $\boldsymbol{X}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 属于特征值 $\lambda_0$ 的特征向量，则矩阵 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ 属于 $\lambda_0$ 的特征向量为（ ）。
$\text{A.}$ $\boldsymbol{P} \boldsymbol{X}$ ；
$\text{B.}$ $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{X}$ ；
$\text{C.}$ $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{X}$ ；
$\text{D.}$ $\boldsymbol{X}$ ．
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 是欧氏空间的标准正交基，则模 $\left|2 \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+3 \boldsymbol{\alpha}_3\right|=$
设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}a & \frac{2}{3} & \frac{1}{\sqrt{18}} \\ 0 & b & \frac{-4}{\sqrt{18}} \\ \frac{-1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{3} & c\end{array}\right]$ 为正交矩阵，则常数 $a=$ $\_\_\_\_$ ， $b=$ $\_\_\_\_$ ，$c=$ $\_\_\_\_$
若实二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 \lambda x_1 x_2-2 x_1 x_3+4 x_2^2+4 x_2 x_3+4 x_3^2
$$
为正定二次型，则常数 $\lambda$ 的取值范围为
已知 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 线性无关的解， $\boldsymbol{A}$ 为 $2 \times 3$ 的矩阵，且秩 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=2$ ．若 $\boldsymbol{\alpha}=k \boldsymbol{\alpha}_1+l \boldsymbol{\alpha}_2$ 是方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的通解，则常数 $k, l$ 须满足关系式
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，且 $\boldsymbol{A}^2+2 \boldsymbol{A}-3 \boldsymbol{E}=\mathbf{0}, \lambda=1$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的一重特征值，则矩阵 $\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}$ 的相似对角矩阵为 $\_\_\_\_$ ，行列式 $|\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}|=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $n$ 阶行列式：
$$
D=\left[\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & \cdots & n-1 & n+x_n \\
1 & 2 & \cdots & (n-1)+x_{n-1} & n \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
1 & 2+x_2 & \cdots & n-1 & n \\
1+x_1 & 2 & \cdots & n-1 & n
\end{array}\right],
$$
其中 $x_i \neq 0(i=1,2, \cdots, n)$ 。
设三阶方阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 满足方程 $\boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{B}-\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$ ，试求矩阵 $\boldsymbol{B}$ 以及行列式 $|\boldsymbol{B}|$ ，其中
$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
-2 & 0 & 1
\end{array}\right], \quad \boldsymbol{E}=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right] .
$$
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶实对称矩阵，且满足 $\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}=\mathbf{0}$ ．已知向量
$$
\boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right], \quad \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right]
$$
是 $\boldsymbol{A}$ 对应特征值 $\lambda=1$ 的特征向量，求 $\boldsymbol{A}^n$ ，其中 $n$ 为自然数．
已知实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1 x_2-2 x_2 x_3+2 x_3 x_1$ ，求正交变换 $\boldsymbol{x}= \boldsymbol{Q y}$ ，将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化为标准形，并写出正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q y}$ ．
已知线性空间 $\mathbb{R}^3$ 的基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 到基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 的过渡矩阵为 $\boldsymbol{P}$ ，且
$$
\boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_3=\left[\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
2
\end{array}\right] ; \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{rrr}
2 & 2 & 1 \\
3 & 2 & -2 \\
4 & 3 & 0
\end{array}\right],
$$
试求出在基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 与 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 下有相同坐标的全体向量．
设线性方程组为
$$
\left\{\begin{aligned}
x_1-3 x_2-x_3 & =0, \\
x_1-4 x_2+a x_3 & =b, \\
2 x_1-x_2+3 x_3 & =5 .
\end{aligned}\right.
$$
问：常数 $a, b$ 取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解．
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $n$ 维列向量，且 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}=1$ ，矩阵 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ ．证明：行列式 $|\boldsymbol{A}|=0$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 实矩阵， $\boldsymbol{\beta} \neq \mathbf{0}$ 是 $m$ 维实列向量．证明：
（1）秩 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right)$ ；
（2）非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}$ 有解．