已知线性空间 $\mathbb{R}^3$ 的基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 到基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 的过渡矩阵为 $\boldsymbol{P}$ ，且

$$
\boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_3=\left[\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
2
\end{array}\right] ; \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{rrr}
2 & 2 & 1 \\
3 & 2 & -2 \\
4 & 3 & 0
\end{array}\right],
$$

试求出在基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 与 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 下有相同坐标的全体向量．