设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 实矩阵， $\boldsymbol{\beta} \neq \mathbf{0}$ 是 $m$ 维实列向量．证明：
（1）秩 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right)$ ；
（2）非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}$ 有解．