设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶实对称矩阵，且满足 $\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}=\mathbf{0}$ ．已知向量
$$
\boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right], \quad \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right]
$$


是 $\boldsymbol{A}$ 对应特征值 $\lambda=1$ 的特征向量，求 $\boldsymbol{A}^n$ ，其中 $n$ 为自然数．