单选题 （共 13 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A$ 为 $n$ 阶非零矩阵， $E$ 为 $n$ 阶单位阵. 若 $A^3=O$ ，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 不可逆，则 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 不可逆
$\text{B.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 不可逆，则 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 可逆
$\text{C.}$ $E-\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $E+\boldsymbol{A}$ 可逆
$\text{D.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $E+\boldsymbol{A}$ 不可逆
设 $\left\{u_n\right\}$ 是数列，则下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}+u_{2 n}\right)$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}+u_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛
$\text{C.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}-u_{2 n}\right)$ 收敛
$\text{D.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}-u_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛
设 $I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln \sin x \mathrm{~d} x ， J=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln \cot x \mathrm{~d} x$ ，$K=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln \cos x \mathrm{~d} x$ ，则 $I, J, K$ 的大小关系是
$\text{A.}$ $I < J < K$
$\text{B.}$ $I < K < J$
$\text{C.}$ $J < I < K$
$\text{D.}$ $K < J < I$
设 $F_1(x) ， F_2(x)$ 为两个分布函数，其相应的概率密度 $f_1(x)$ ， $f_2(x)$ 是连续函数，则必为概率密度的是
$\text{A.}$ $f_1(x) f_2(x)$
$\text{B.}$ $2 f_2(x) F_1(x)$
$\text{C.}$ $f_1(x) F_2(x)$
$\text{D.}$ $f_1(x) F_2(x)+f_2(x) F_1(x)$
设函数 $f(x)=a x-b \ln x(a>0)$ 有两个零点，则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是（）
$\text{A.}$ $(e,+\infty)$
$\text{B.}$ $(0, e)$
$\text{C.}$ $\left(0, \frac{1}{e}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{1}{e},+\infty\right)$
设 $\left(X_1, Y_1\right),\left(X_2, Y_2\right), \cdots,\left(X_n, Y_n\right)$ 为来自总体 $N\left(\mu_1, \mu_2\right.$; $\left.\sigma_1^2, \sigma_2^2 ; \rho\right)$ 简单随机样本，令 $\theta=\mu_1-\mu_2, \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, $\overline{\boldsymbol{Y}}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i, \hat{\boldsymbol{\theta}}=\overline{\boldsymbol{X}}-\overline{\boldsymbol{Y}}$ ，则 $(\quad)$
$\text{A.}$ $E(\hat{\theta})=\theta, D(\hat{\theta})=\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}{n}$
$\text{B.}$ $E(\hat{\theta})=\theta, D(\hat{\theta})=\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2 \rho \sigma_1 \sigma_2}{n}$
$\text{C.}$ $E(\hat{\theta}) \neq \theta, D(\hat{\theta})=\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}{n}$
$\text{D.}$ $E(\hat{\theta}) \neq \theta, \quad D(\hat{\theta})=\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2 \rho \sigma_1 \sigma_2}{n}$
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\alpha(x), \beta(x)$ 是非零无穷小量，给出以下四个命题：
(1) 若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$, 则 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$ ；
(2) 若 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$, 则 $\alpha(x) \sim \beta(x)$
(3) 若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$ ，则 $\alpha(x)-\beta(x) \sim o(\alpha(x))$ ；
(4) 若 $\alpha(x)-\beta(x) \sim o(\alpha(x))$, 则 $\alpha(x) \sim \beta(x)$.
其中所有真命题序号是
$\text{A.}$ (1)(2)
$\text{B.}$ (1)(4)
$\text{C.}$ (1)(3)(4)
$\text{D.}$ (2)(3)(4)
设 $A$ 为三阶矩阵， $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A$ 的特征值为 $1,-1,0$ 的充分必要条件是 (）
$\text{A.}$ 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q}$ ，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{Q}$
$\text{B.}$ 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{P}^{-1}$
$\text{C.}$ 存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{\Lambda} Q^{-1}$
$\text{D.}$ 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{P}^T$
已知 $a_n < b_n(n=1,2, \cdots)$ ，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 均收敛，则 " $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛 "是 " $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 绝对收敛"的( )
$\text{A.}$ 充分必要条件
$\text{B.}$ 充分不必要条件
$\text{C.}$ 必要不充分条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
已知向量 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \beta_1=\left(\begin{array}{l}2 \\ 5 \\ 9\end{array}\right), \beta_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$, 若 $\gamma$既可由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示，也可由 $\beta_1, \beta_2$ 线性表示，则 $\gamma=$
$\text{A.}$ $k\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 4\end{array}\right), k \in \mathbf{R}$
$\text{B.}$ $k\left(\begin{array}{c}3 \\ 5 \\ 10\end{array}\right), k \in \mathbf{R}$
$\text{C.}$ $k\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right), k \in \mathbf{R}$
$\text{D.}$ $k\left(\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 8\end{array}\right), k \in \mathbf{R}$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 服从参数为 1 的泊松分布，则 $\boldsymbol{E}(|\boldsymbol{X}-\boldsymbol{E} \boldsymbol{X}|)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{\mathrm{e}}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{\mathrm{e}}$
$\text{D.}$ 1
已知幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数为 $\ln (2+x)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_{2 n}=$ ( )
$\text{A.}$ $-\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}6 x(1-x), & 0 < x < 1, \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$ ，则 $\boldsymbol{X}$ 的三阶中心矩 $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{E} \boldsymbol{X})^3=(\quad)$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{32}$
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ $\frac{1}{16}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设某产品的需求函数为 $Q=Q(P)$ ，其对应价格 $P$ 的弹性 $E_P=0.2$ ，则当需求量为 10000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加元
设函数 $z=\left(1+\frac{x}{y}\right)^{\frac{x}{y}}$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1,1)}=$
曲线 $\tan \left(x+y+\frac{\pi}{4}\right)=e^y$ 在点 $(0,0)$ 处切线方程为
设平面区域 $D$ 由曲线 $y=\sqrt{x} \sin \pi x(0 \leq x \leq 1)$ 与 $x$所围成，则 $\boldsymbol{D}$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积为
甲乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球. 令 $X, Y$ 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为
$\int_0^2 \frac{2 x-4}{x^2+2 x+4} \mathrm{~d} x=$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵，交换 $\boldsymbol{A}$ 的第二行和第三行, 再将第二列的 -1 倍加到第一列，得到矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}-2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A^{-1}$的迹 $\operatorname{tr}\left(A^{-1}\right)=$
设 $A, B, C$ 为三个随机事件， $A$ 与 $B$ 互不相容， $A$ 与 $C$互不相容， $B$ 与 $C$ 相互独立，且
$$
P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{3}
$$
则 $P(B \cup C \mid A \cup B \cup C)=$
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\int_0^x \frac{\left(1+t^2\right) \sin t^2}{1+\cos t^2} \mathrm{~d} t$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小，则 $k=$
$\int_2^{+\infty} \frac{5}{x^4+3 x^2-4} \mathrm{~d} x=$
解答题 （共 17 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 是周期为 2 的连续函数，
（I ) 证明对任意实数 $t$ ，有 $\int_t^{t+2} f(x) \mathrm{d} x=\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x$ ；
(ㅍ) 证明 $G(x)=\int_0^x\left[2 f(t)-\int_t^{t+2} f(s) \mathrm{d} s\right] \mathrm{d} t$ 是周期为 2 的周期函数.
设银行存款的年利率为 $r=0.05$ ，并依年复利计算，某基金会希望通过存款 $A$ 万元，实现第一年提取 19 万元，第二年提取 28 万元， $\ldots$ 、第 $n$ 年提取 $(10+9 n)$ 万元，并能按此规律一直提取下去，问 $A$ 至少应为多少万元?
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，
$$
\begin{aligned}
\text { 记 } \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, \quad S^2 & =\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, \\
T & =\bar{X}^2-\frac{1}{n} S^2
\end{aligned}
$$
(I) 证明 $T$ 是 $\mu^2$ 的无偏估计量；
(II) 当 $\mu=0, \sigma=1$ 时，求 $D(T)$.
计算不定积分 $\int \ln \left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) \mathrm{d} x(x>0)$.
(1) 证明拉格朗日中值定理; 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得
$$
f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a) ;
$$
(2) 证明: 若函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，在 $(0, \delta)(\delta>0)$ 内可导，且 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=A$ ，则 $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在，且 $f_{+}^{\prime}(0)=A$.
设曲线 $y=f(x)$ ，其中 $f(x)$ 是可导函数，且 $f(x)>0$.已知曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=0, x=1$ 及 $x=t(t>1)$ 所围成的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 $\pi t$ 倍，求该曲线的方程.
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -2\end{array}\right) ， \xi_1=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)$.
(1) 求满足 $A \xi_2=\xi_1, A^2 \xi_3=\xi_1$ 的所有向量 $\xi_2, \xi_3$;
(2) 对(1)中的任意向量 $\xi_2, \xi_3$ ，证明 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ 线性无关。
设二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a x_1^2+a x_2^2+(a-1) x_3^2+2 x_1 x_3-2 x_2 x_3
$$
(1) 求二次型 $f$ 的矩阵的所有特征值;
(2) 若二次型 $f$ 的规范形为 $y_1^2+y_2^2$ ，求 $a$ 的值.
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{1 / x}-1\right)^{\frac{1}{\ln x}}$.
计算二重积分 $\iint_D(x+y)^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由曲线 $x=\sqrt{1+y^2}$ 与直线 $x+\sqrt{2} y=0$ 及 $x-\sqrt{2} y=0$ 围成.
求函数 $u=x y+2 y z$ 在约束条件 $x^2+y^2+z^2=10$下的最大值和最小值.
设函数 $f(x)$ 在 $[0,3]$ 上连续，在 $(0,3)$ 内存在二阶导数，且 $2 f(0)=\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=f(2)+f(3)$.
(1)证明：存在 $\eta \in(0,2)$ ，使得 $f(\eta)=f(0)$.
(2)证明: 存在 $\xi \in(0,3)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=0$.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
\begin{gathered}
f(x, y)=A \mathrm{e}^{-2 x^2+2 x y-y^2}, \\
-\infty < x < +\infty,-\infty < y < +\infty
\end{gathered}
$$
求常数及 $A$ 及条件概率密度 $f_{Y \mid X}(y \mid x)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2 \sin x}-x-1}{x \ln (1+x)}$
已知函数 $f(u, v)$ 具有连续的二阶偏导数， $f(1,1)=2$ 是 $f(u, v)$ 的极值， $z=f[x+y, f(x, y)]$ ，求 $\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)}$.
求不定积分 $\int \frac{\arcsin \sqrt{x}+\ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 有连续导数， $f(0)=1$ ，且满足
$$
\iint_{D_t} f^{\prime}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_t} f(t) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $D_t=\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq t-x, 0 \leq x \leq t\}(0 < t \leq 1)$ ，求 $f(x)$ 的表达式.