数学

设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵， $A^T$ 是 $A$ 的转置矩阵，则对于线性方程组 $(I): A x=0$ 和 $(I I): x^T A x=0$ ，必有

设 $A$ 是 3 阶方阵，将 $A$ 的第 1 列与第 2 列交换得 $B$ ，再把 $B$ 的第 2 列加到第 3 列得 $C$ ，则满足 $A Q=C$ 的可逆矩阵 $Q$ 为

设线性空间 $V$ 上的线性变换 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵为 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & 2\end{array}\right)$, 则 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3$, $\varepsilon_2+\varepsilon_3, \varepsilon_3$ 下的矩阵为

设矩阵 $A$ 的初等因子组为 $\lambda^2,(\lambda-1)^2,(\lambda-1)^2, \lambda+1,(\lambda+1)^3$, 则 $A$ 的最小多项式为

已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right)$, 且矩阵 $X$满足 $A X A+B X B=A X B+B X A+E$ ，其中 $E$ 是 3 阶单位阵，求 $\boldsymbol{X}$.

设 $n$ 维向量 $\alpha=(a, 0, \cdots, 0, a)^T, a < 0 ； E$ 为 $\boldsymbol{n}$ 阶单位矩阵，矩阵 $A=E-\alpha \alpha^T, B=E+\frac{1}{a} \alpha \alpha^T$ ，其中 $A$的逆矩阵为 $B$ ，则 $a=$

设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right) ， E$ 为二阶单位矩阵，矩阵 $B$ 满足 $B A=B+2 E$ ，则 $|B|=$

设 $M_2(k)$ 是数域 $k$ 上所有 2 -级方阵构成的线性空间。
(i). 证明: 矩阵的转置是 $M_2(k)$ 上的线性变换。
(ii). 求出转置线性变换在基本矩阵 $E_{i j}$ 构成的基下的矩阵。

定义在 $V=\mathbb{R}^3$ 上的运算
$
\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle_V=x_1 y_1+x_2 y_2+\left(x_2+x_3\right)\left(y_2+y_3\right)
$
其中 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, x_3\right), \boldsymbol{y}=\left(y_1, y_2, y_3\right)$.
1. 验证 $\langle\cdot, \cdot\rangle_V$ 是 $\mathbb{R}^3$ 上的一个内积;
2. 求 $\mathbb{R}^3$ 在 $\langle\cdot, \cdot\rangle_V$ 下的一组标准正交基;
3. 求 $\boldsymbol{\beta} \in V$ 使得 $\forall \boldsymbol{x} \in V: x_1+2 x_2=\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\beta}\rangle_V$.

$T \in \mathcal{L}(V)$ 在一组基 $\varepsilon=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\right)$ 下的矩阵为
$$
T(\varepsilon)=(\varepsilon)\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right)
$$
求 $V$ 所有的 $T$-不变子空间.

试给出下列命题的真伪. 若命题为真, 请给出简要证明; 若命题为假, 请举出反例.
1. $T \in \mathcal{L}(V)$. 若子空间 $W \in V$ 在 $T$ 下不变, 则其补空间 $W^{\prime}$ 在 $T$ 下也不变;
2. 定义 $T \in \mathcal{L}(V, W): T v=\langle v, \alpha\rangle \beta, \beta \in W$ 对 $\forall v \in V$ 成立, 则 $T^* w=\langle w, \beta\rangle \alpha, \alpha \in V$ 对 $\forall w \in W$成立;
3. $T \in \mathcal{L}(V)$ 是非幕零算子, 满足 $\operatorname{null} T^{n-1} \neq \operatorname{null} T^{n-2}$. 则其极小多项式为
$$
m(\lambda)=\lambda^{n-1}(\lambda-a) \quad 0 \neq a \in \mathbb{R}
$$
4. $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n} . \mathbf{S}_1=\mathbf{A}^{\mathrm{T}}+\mathbf{A}, \mathbf{S}_2=\mathbf{A}^{\mathrm{T}}-\mathbf{A}$. 则 $\mathbf{A}$ 是正规矩阵当且仅当 $\mathbf{S}_1 \mathbf{S}_2=\mathbf{S}_2 \mathbf{S}_1$.
5. $\mathbf{A} \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 是正规矩阵, 则 $\mathbf{A}$ 的实部矩阵和虚部矩阵是对称矩阵.

$T \in \mathcal{L}(V)$. 有极分解 $T=S \sqrt{G}$, 其中 $S$ 是等距同构, $G=T^* T$. 证明以下条件等价:
1. $T$ 是正规算子;
2. $G S=S G$;
3. $G$ 的所有特征空间 $E(\lambda, G)$ 都是 $S$-不变的.

设矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $A^*=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 8\end{array}\right)$ ， $A B A^{-1}=B A^{-1}+3 E, E$ 为 4 阶单位矩阵，求矩阵 $B$.