定义在 $V=\mathbb{R}^3$ 上的运算
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\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle_V=x_1 y_1+x_2 y_2+\left(x_2+x_3\right)\left(y_2+y_3\right)
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其中 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, x_3\right), \boldsymbol{y}=\left(y_1, y_2, y_3\right)$.
1. 验证 $\langle\cdot, \cdot\rangle_V$ 是 $\mathbb{R}^3$ 上的一个内积;
2. 求 $\mathbb{R}^3$ 在 $\langle\cdot, \cdot\rangle_V$ 下的一组标准正交基;
3. 求 $\boldsymbol{\beta} \in V$ 使得 $\forall \boldsymbol{x} \in V: x_1+2 x_2=\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\beta}\rangle_V$.