试给出下列命题的真伪. 若命题为真, 请给出简要证明; 若命题为假, 请举出反例.
1. $T \in \mathcal{L}(V)$. 若子空间 $W \in V$ 在 $T$ 下不变, 则其补空间 $W^{\prime}$ 在 $T$ 下也不变;
2. 定义 $T \in \mathcal{L}(V, W): T v=\langle v, \alpha\rangle \beta, \beta \in W$ 对 $\forall v \in V$ 成立, 则 $T^* w=\langle w, \beta\rangle \alpha, \alpha \in V$ 对 $\forall w \in W$成立;
3. $T \in \mathcal{L}(V)$ 是非幕零算子, 满足 $\operatorname{null} T^{n-1} \neq \operatorname{null} T^{n-2}$. 则其极小多项式为
$$
m(\lambda)=\lambda^{n-1}(\lambda-a) \quad 0 \neq a \in \mathbb{R}
$$
4. $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n} . \mathbf{S}_1=\mathbf{A}^{\mathrm{T}}+\mathbf{A}, \mathbf{S}_2=\mathbf{A}^{\mathrm{T}}-\mathbf{A}$. 则 $\mathbf{A}$ 是正规矩阵当且仅当 $\mathbf{S}_1 \mathbf{S}_2=\mathbf{S}_2 \mathbf{S}_1$.
5. $\mathbf{A} \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 是正规矩阵, 则 $\mathbf{A}$ 的实部矩阵和虚部矩阵是对称矩阵.