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定积分训练题3

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

本试卷由kmath.cn自动生成。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 6 题），每题只有一个选项正确

1. 设

I = \int \frac{a + x}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} d x

, 则

I = ()

A.

a \arcsin \frac{x}{a} + \sqrt{a^{2} - x^{2}} + C

B.

a \arcsin \frac{x}{a} - \sqrt{a^{2} - x^{2}} + C

C.

a \arcsin \frac{x}{a} - x \sqrt{a^{2} - x^{2}} + C

D.

\arcsin \frac{x}{a} - \sqrt{a^{2} - x^{2}} + C

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2. 设

I = \int \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x} (1 + x)} d x

, 则

I =

A.

- (\arctan \sqrt{x})^{2} + C

B.

\arctan \sqrt{x} + C

C.

(\arctan \sqrt{x})^{2} + C

D.

- \sqrt{\arctan x} + C

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3. 设在区间

[a, b]

上

f (x) > 0, f^{'} (x) < 0, f^{''} (x) > 0

,
令

S_{1} = \int_{a}^{b} - f (x) d x, S_{2} = f (b) (b - a), S_{3} = \frac{1}{2} [f (b) + f (a)] (b - a)

, 则有

A.

S_{1} < S_{2} < S_{3}

B.

S_{2} < S_{1} < S_{3}

C.

S_{3} < S_{1} < S_{2}

D.

S_{2} < S_{3} < S_{1}

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4. 设

f (x)

是连续函数，

F (x)

是

f (x)

的原函数，则

A.

当

f (x)

是奇函数时，

F (x)

必是偶函数

B.

当

f (x)

是偶函数时，

F (x)

必是奇函数

C.

当

f (x)

是是周期函数时，

F (x)

必是周期函数

D.

当

f (x)

是单调增函数时，

F (x)

必是单调增函数

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5. 设三个积分分别为

\begin{matrix} M = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin x}{1 + x^{2}} \cos^{4} x d x, \\ N = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (\sin^{3} x + \cos^{4} x) d x, \\ P = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (x^{2} \sin^{3} x - \cos^{4} x) d x, \end{matrix}

则

A.

N < P < M

B.

M < P < N

C.

N < M < P

D.

P < M < 1

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6. 设

a_{n} = \frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{n}{n + 1}} x^{n - 1} \sqrt{1 + x^{n}} d x

，则极限

lim_{n \to \infty} n a_{n}

等于

A.

(1 + e)^{\frac{3}{2}} + 1

B.

{(1 + e^{- 1})}^{\frac{3}{2}} - 1

C.

{(1 + e^{- 1})}^{\frac{3}{2}} + 1

D.

(1 + e)^{\frac{3}{2}} - 1

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二、填空题（共 12 题），请把答案直接填写在答题纸上

\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (\cos^{2} x + \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t) \sin^{2} x d x =

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8. 设

a > 0

, 则

\int_{0}^{+ \infty} \frac{x^{3}}{e^{a x}} d x =

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lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{i {(1 + \cos \frac{2 π i}{n})}^{2}}{n^{2} + i} =

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10. 设

p > 0

，广义积分

\int_{1}^{+ \infty} x^{2} \ln (1 + \sin \frac{1}{x^{p}}) d x

收敛，则实数

p

的取值范围是

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11. 设连续函数

f (x)

满足

2 \int_{1}^{x} f (t) d t = x f (x) + x^{2}

，则

f^{'} (1) =

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12.

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k - \sin^{2} n} =

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13. 求

lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t}{x \int_{0}^{x} f (x - t) d t}

, 其中

f (x)

连续且

f (0) \neq 0

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14. 设

f (x)

是周期为 2 的连续函数:
(1) 证明对任意实数

t

，有

\int_{t}^{t + 2} f (x) d x = \int_{0}^{2} f (x) d x

；
(2) 证明

G (x) = \int_{0}^{x} [2 f (t) - \int_{t}^{t + 2} f (s) d s] d t

是周期为 2 的周期函数.

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15. 设

f (x) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1 + t} d t

，其中

x > 0

，求

f (x) + f (\frac{1}{x})

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16. 设

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内满足

f (x) = f (x - π) + \sin x ，

且

f (x) = x, x \in [0, π)

，计算

I = \int_{π}^{3 π} f (x) d x

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17. 设函数

f (x)

可导，且

f (0) = 0

，

F (x) = \int_{0}^{x} t^{n - 1} f (x^{n} - t^{n}) d t,

求

lim_{x \to 0} \frac{F (x)}{x^{2 n}}

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18. 设

f (x)

在

[a, b]

上连续，

x \in (a, b)

，证明:

lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{a}^{x} [f (t + h) - f (t)] d t = f (x) - f (a) .

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三、解答题（共 11 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

19. 求

\int \frac{x e^{\arctan x}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x

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20.

\int \frac{d x}{a \sin x + b \cos x} (a, b \neq 0)

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21.

\int e^{2 x} (\tan x + 1)^{2} d x

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22.

\int (\sqrt{\cot x} - \sqrt{\tan x}) d x

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23.

\int \frac{\sin (\ln x)}{x^{2}} d x

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24. 设可导函数

f (x)

满足

\int x^{3} f^{'} (x) d x = x^{2} \cos x - 4 x \sin x - 6 \cos x + C

, 且

f (2 π) = \frac{1}{2 π}

, 求

\int f (x) d x .

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25. 已知

f^{''} (x)

连续, 且

f (0) = f (π) = 1

, 求积分

\int_{0}^{π} [f (x) + f^{''} (x)] \sin x d x

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26. 求积分

\int_{0}^{e} \cos (\ln x) d x

的值。

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27. 设

a

为常数, 反常积分

\int_{0}^{+ \infty} \frac{x^{a} \arctan x^{b}}{\sqrt{1 + x^{c}}} d x

对任意正实数

b, c

均收玫.
(I) 求

a

的值.
(II) 证明:

\frac{\sqrt{2} π^{2}}{8} ⩽ \int_{0}^{+ \infty} \frac{x^{a} \arctan x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x ⩽ \frac{π (π + 2)}{8}

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28. 设

f (x)

连续,

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = 1

. 求极限

lim_{x \to 0} {[1 + \int_{0}^{x} t f (x^{2} - t^{2}) d t]}^{(t a n x - x) \ln (1 + x)}

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29. 计算定积分

\int_{- π}^{π} \frac{x \sin x \cdot \arctan e^{x}}{1 + \cos^{2} x} d x

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