一、单选题 （共 6 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $I=\int \frac{a+x}{\sqrt{a^2-x^2}} \mathrm{~d} x$, 则 $I=(\quad)$.
$\text{A.}$ $a \arcsin \frac{x}{a}+\sqrt{a^2-x^2}+C$.
$\text{B.}$ $a \arcsin \frac{x}{a}-\sqrt{a^2-x^2}+C$.
$\text{C.}$ $a \arcsin \frac{x}{a}-x \sqrt{a^2-x^2}+C$.
$\text{D.}$ $\arcsin \frac{x}{a}-\sqrt{a^2-x^2}+C$.
设 $I=\int \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+x)} \mathrm{d} x$, 则 $I=$.
$\text{A.}$ $-(\arctan \sqrt{x})^2+C$.
$\text{B.}$ $\arctan \sqrt{x}+C$
$\text{C.}$ $(\arctan \sqrt{x})^2+C$.
$\text{D.}$ $-\sqrt{\arctan x}+C$.
设在区间 $[a, b]$ 上 $f(x)>0, f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x)>0$,
令 $S_1=\int_a^b-f(x) \mathrm{d} x, S_2=f(b)(b-a), S_3=\frac{1}{2}[f(b)+f(a)](b-a)$, 则有
$\text{A.}$ $S_1 < S_2 < S_3$.
$\text{B.}$ $S_2 < S_1 < S_3$.
$\text{C.}$ $S_3 < S_1 < S_2$.
$\text{D.}$ $S_2 < S_3 < S_1$
设 $f(x)$ 是连续函数， $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，则
$\text{A.}$ 当 $f(x)$ 是奇函数时， $F(x)$ 必是偶函数
$\text{B.}$ 当 $f(x)$ 是偶函数时， $F(x)$ 必是奇函数
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 是是周期函数时， $F(x)$ 必是周期函数
$\text{D.}$ 当 $f(x)$ 是单调增函数时， $F(x)$ 必是单调增函数
设三个积分分别为
$$
\begin{gathered}
\mathrm{M}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^2} \cos ^4 x \mathrm{~d} x, \\
N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^3 x+\cos ^4 x\right) \mathrm{d} x, \\
P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x^2 \sin ^3 x-\cos ^4 x\right) \mathrm{d} x,
\end{gathered}
$$
则
$\text{A.}$ $N < P < M$
$\text{B.}$ $M < P < N$
$\text{C.}$ ${N} < M < P$
$\text{D.}$ $P < M < 1$
设 $a_n=\frac{3}{2} \int_0^{\frac{n}{n+1}} x^{n-1} \sqrt{1+x^n} \mathrm{~d} x$ ，则极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n$ 等于
$\text{A.}$ $(1+e)^{\frac{3}{2}}+1$
$\text{B.}$ $\left(1+e^{-1}\right)^{\frac{3}{2}}-1$
$\text{C.}$ $\left(1+e^{-1}\right)^{\frac{3}{2}}+1$
$\text{D.}$ $(1+e)^{\frac{3}{2}}-1$
二、填空题 （共 12 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos ^2 x+\int_0^x \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{~d} t\right) \sin ^2 x \mathrm{~d} x=$
设 $a>0$, 则 $\int_0^{+\infty} \frac{x^3}{e^{a x}} \mathrm{~d} x=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac{i\left(1+\cos \frac{2 \pi i}{n}\right)^2}{n^2+i}=$
设 $p>0$ ，广义积分 $\int_1^{+\infty} x^2 \ln \left(1+\sin \frac{1}{x^p}\right) \mathrm{d} x$ 收敛，则实数 $p$ 的取值范围是
设连续函数 $f(x)$ 满足 $2 \int_1^x f(t) \mathrm{d} t=x f(x)+x^2$ ，则 $f^{\prime}(1)=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k-\sin ^2 n}=$
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x(x-t) f(t) \mathrm{d} t}{x \int_0^x f(x-t) \mathrm{d} t}$, 其中 $f(x)$ 连续且 $f(0) \neq 0$.
设 $f(x)$ 是周期为 2 的连续函数:
(1) 证明对任意实数 $t$ ，有 $\int_t^{t+2} f(x) \mathrm{d} x=\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x$ ；
(2) 证明 $G(x)=\int_0^x\left[2 f(t)-\int_t^{t+2} f(s) \mathrm{d} s\right] \mathrm{d} t$ 是周期为 2 的周 期函数.
设 $f(x)=\int_1^x \frac{\ln t}{1+t} \mathrm{~d} t$ ，其中 $x>0$ ，求 $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$.
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内满足
$$
f(x)=f(x-\pi)+\sin x ，
$$
且 $f(x)=x, x \in[0, \pi)$ ，计算 $I=\int_\pi^{3 \pi} f(x) \mathrm{d} x$.
设函数 $f(x)$ 可导，且 $f(0)=0$ ，
$$
F(x)=\int_0^x t^{n-1} f\left(x^n-t^n\right) \mathrm{d} t,
$$
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{F(x)}{x^{2 n}}$.
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续， $x \in(a, b)$ ，证明:
$$
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \int_a^x[f(t+h)-f(t)] \mathrm{d} t=f(x)-f(a) .
$$
三、解答题 （ 共 11 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求 $$\int \frac{x e^{\arctan x}}{\left(1+x^2\right)^{\frac{3}{2}}} d x$$
$\int \frac{d x}{a \sin x+b \cos x}(a, b \neq 0)$
$\int e^{2 x}(\tan x+1)^2 d x$
$\int(\sqrt{\cot x}-\sqrt{\tan x}) d x$
$\int \frac{\sin (\ln x)}{x^2} d x$
设可导函数 $f(x)$ 满足 $\int x^3 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=x^2 \cos x-4 x \sin x-6 \cos x+C$, 且 $f(2 \pi)=\frac{1}{2 \pi}$, 求
$$
\int f(x) d x .
$$
已知 $f^{\prime \prime}(x)$ 连续, 且 $f(0)=f(\pi)=1$, 求积分 $\int_0^\pi\left[f(x)+f^{\prime \prime}(x)\right] \sin x d x$.
求积分 $\int_0^{\mathrm{e}} \cos (\ln x) \mathrm{d} x$ 的值。
设 $a$ 为常数, 反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x^a \arctan x^b}{\sqrt{1+x^c}} \mathrm{~d} x$ 对任意正实数 $b, c$ 均收玫.
(I) 求 $a$ 的值.
(II) 证明: $\frac{\sqrt{2} \pi^2}{8} \leqslant \int_0^{+\infty} \frac{x^a \arctan x}{\sqrt{1+x^2}} \mathrm{~d} x \leqslant \frac{\pi(\pi+2)}{8}$.
设 $f(x)$ 连续, $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$. 求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[1+\int_0^x t f\left(x^2-t^2\right) d t\right]^{({tan} x-x) \ln (1+x)}$.
计算定积分 $\int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin x \cdot \arctan \mathrm{e}^x}{1+\cos ^2 x} \mathrm{~d} x$.