设 $a$ 为常数, 反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x^a \arctan x^b}{\sqrt{1+x^c}} \mathrm{~d} x$ 对任意正实数 $b, c$ 均收玫.
(I) 求 $a$ 的值.
(II) 证明: $\frac{\sqrt{2} \pi^2}{8} \leqslant \int_0^{+\infty} \frac{x^a \arctan x}{\sqrt{1+x^2}} \mathrm{~d} x \leqslant \frac{\pi(\pi+2)}{8}$.