2023届皖南八校高三开学考试

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2023届皖南八校高三开学考试

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. 已知集合

M = {y ∣ y = 2^{x}}, N = {y ∣ y = \sqrt{1 - x^{2}}}

, 则

M \cap N =

A.

{x ∣ 0 < x < 1}

B.

{x ∣ 0 < x ⩽ 1}

C.

{x ∣ x ⩽ 1}

D.

{x ∣ x > 0}

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2. 若

z (1 + 2 i) = 2 - i

(i 为虚数单位), 则复数

z =

A.

- i

B.

i

C.

1

D.

- 1

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3. 已知向量

a = (- 2, m), b = (1, - 2)

, 若

a ⊥ b

, 则

m

的值为

A.

B.

-1

C.

D.

-2

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4. 若

a = {0.7}^{- 0.5}, b = \log_{0.5} 0.7, c = \log_{0. 7} 5

, 则

A.

b < a < c

B.

a < b < c

C.

c < a < b

D.

c < b < a

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5. 某滑冰馆统计了 2021 年 11 月 1 日到 30 日某小区居民在该滑冰馆的锻炼天数, 得到如图所示的频率分布直方图(将频率视为概率), 则下列说法正确的是

A.

该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间

(25, 30]

内的最少

B.

估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为 16

C.

估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值大于 14

D.

估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.456

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6. 已知等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 且

a_{3} + a_{5} = - 10, S_{6} = - 42

, 则

S_{10} =

A.

B.

C.

D.

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7. “

m = - 1

"是“直线

l_{1} : m x + 2 y + 1 = 0

与直线

l_{2} : \frac{1}{2} x + m y + \frac{1}{2} = 0

平行" 的

A.

充要条件

B.

必要不充分条件

C.

充分不必要条件

D.

即不充分也不必要条件

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8. 若曲线

y = \ln x + x^{2}

的一条切线的斜率为 3 , 则该切线的方程可能为

A.

3 x - y - 1 = 0

B.

3 x - y + 1 = 0

C.

3 x - y - 2 = 0

D.

3 x - y - 1 - \ln 2 = 0

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9. 函数

f (x) = \tan (2 x - \frac{π}{3})

的图象的一个对称中心为

A.

(\frac{π}{12}, 0)

B.

(\frac{7 π}{12}, 0)

C.

(- \frac{5 π}{12}, 0)

D.

(- \frac{π}{12}, 0)

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10. 如图, 在正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中,

A B = 2, P

为

C C_{1}

的中点, 点

Q

在四边形

D C C_{1} D_{1}

内 (包括边界)运动, 若

A Q / /

平面

A_{1} B P

, 则

A Q

的最小值为

A.

1

B.

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

C.

\sqrt{5}

D.

\sqrt{7}

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11. 已知点

M

在抛物线

C : y^{2} = 2 p x (p > 0)

上, 若以点

M

为圆心半径为 5 的圆与抛物线

C

的准线相切, 且与

x

轴相交的弦长为 6 , 则

p =

A.

B.

C.

2 或 8

D.

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12. 已知函数

y = f (x + 1)

的图象关于直线

x = - 3

对称, 且对

\forall x \in R

都有

f (x) + f (- x) =

2. 当

x \in (0, 2]

时,

f (x) = x + 2

. 则

f (2022) =

A.

- 1

B.

1

C.

2

D.

- 2

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13.

{(x - \frac{1}{x})}^{4}

的展开式中的常数项为

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14. 已知

0 < α < \frac{π}{2}, \sin α = \frac{3}{5}, \tan (α - β) = - \frac{1}{3}

, 则

\tan β =

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15. 已知正四棱椎

P - A B C D

的底面边长为 3 , 高为 2 ,若该四棱锥的五个顶点都在一个球面上, 则球心到四棱锥侧面的距离为

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16. 已知双曲线

C : \frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{3} = 1

的右焦点为

F_{2}

, 过点

F_{2}

斜率为

k

的直线

l

与双曲线C 的右支交于

A, B

两点, 点

P (- 2 \sqrt{3}, 0)

, 若

△ A B P

的外心

Q

的横坐标为 0 , 则直线

l

的方程为

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 已知数列

{a_{n}}

满足

a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 a_{n} (n \in N^{*})

.
(1) 求

{a_{n}}

的通项公式;
(2)证明:

\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} < \frac{3}{2}

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18. 已知

△ A B C

的内角

A, B, C

所对的边分别是

a, b, c

, 满足

\frac{a}{b} = \frac{\cos A + 1}{\sqrt{3} \sin B}

.
(1)求角

A_{i}

(2)若

b + c = 2 a

, 且

△ A B C

外接圆的直径为 2 , 求

△ A B C

的面积.

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19. 产品的质量是一个企业在市场中获得消费者信赖的重要因素, 某企业对出厂的每批次产品都进行性能测试. 某检验员在某批次的产品中抽取 5 个产品进行性能测试, 现有甲、乙两种不同的测试方案, 每个产品随机选择其中的一种进行测试, 已知选择甲方案测试合格的概率为

\frac{1}{2}

, 选择乙方案测试合格的概率为

\frac{3}{4}

, 且每次测试的结果互不影㕷.
(1)若 3 个产品选择甲方案, 2 个产品选择乙方案.
(i) 求 5 个产品全部测试合格的概率;
(ii) 求 4 个产品测试合格的概率.
(2)若测试合格的产品个数的期望不小于 3, 求选捀甲方案进行测试的产品个数.

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20. 如图, 在三棱锥

P - A B C

中,

A B ⊥ B C, A B = B C = 2, P A = P B = P C = 2 \sqrt{2}, O

为

A C

的中点.
(1) 证明:

A C ⊥

平面

PBO

;
(2)若

M

为棱

B C

的中点, 求二面角

M - P A - C

的正弦值.

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21. 已知椭圆

M : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左、右焦点为

F_{1}, F_{2}

, 且左焦点坐标为

(- \sqrt{2}, 0), P

为椭圆上的一个动点,

∠ F_{1} P F_{2}

的最大值为

\frac{π}{2}

.
(1)求椭圆

M

的标准方程;
(2) 若过点

(- 2, - 4)

的直线

l

与椭圆

M

交于

A, B

两点, 点

N (2, 0)

, 记直线

N A

的斜率为

k_{1}

, 直线 NB 的斜率为

k_{2}

, 证明:

\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} = 1

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22. 已知函数

f (x) = - a x^{2} + x \ln x - x

.
(1)若

f (x)

有两个极值点,求实数

a

的取值范围；
(2)当

a = 0

时, 求函数

h (x) = f (x) - x + \frac{2}{x}

的零点个数.

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