题号:2094    题型:解答题    来源:2023届皖南八校高三开学考试
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_{n+1}=3 a_n (n \in \mathbf{N}^*)$.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2)证明: $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n} < \frac{3}{2}$.
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答案:
(1) 解: 由 $a_{n+1}=3 a_n, a_1=1$, 得 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=3$, 则 $\left\{a_n\right\}$ 是等比数列, 首项为 1 , 公比为 3 , 所以 $a_n=3^{n-1}$.

(2)证明: 由 (1) 知 $\frac{1}{a_n}=\frac{1}{3^{n-1}}$,
$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots \frac{1}{a_n}=1+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{3^{n-1}}=\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{3^n}\right)$,
又因为 $1-\frac{1}{3^n} < 1$,
所以 $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots \frac{1}{a_n} < \frac{3}{2}$.

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