题号:2095    题型:解答题    来源:2023届皖南八校高三开学考试
类型:模拟考试
已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$, 满足 $\frac{a}{b}=\frac{\cos A+1}{\sqrt{3} \sin B}$.
(1)求角 $A_{\text {i }}$
(2)若 $b+c=2 a$, 且 $\triangle A B C$ 外接圆的直径为 2 , 求 $\triangle A B C$ 的面积.
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答案:
解: (1) 由正弦定理得 $\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{\cos A+1}{\sqrt{3} \sin B}$,
因为 $\sin B \neq 0$, 所以 $\sqrt{3} \sin A-\cos A=1$, 即 $\sin \left(A-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$.
因为 $0 < A < \pi$, 所以 $-\frac{\pi}{6} < A-\frac{\pi}{6} < \frac{5 \pi}{6}$, 所以 $A-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}$, 所以 $A=\frac{\pi}{3}$.

(2) 设 $\triangle A B C$ 的外接圆半径为 $R$, 则 $R=1, a=2 R \sin A=\sqrt{3}$,
由余弦定理得 $a^2=b^2+c^2-2 b c \cos \frac{\pi}{3}=(b+c)^2-3 b c$, 即 $3=12-3 b c$,
所以 $b c=3$,

解析:

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