题号:2089    题型:单选题    来源:2023届皖南八校高三开学考试
已知函数 $y=f(x+1)$ 的图象关于直线 $x=-3$ 对称, 且对 $\forall x \in \mathbf{R}$ 都有 $f(x)+f(-x)=$ 2. 当 $x \in(0,2]$ 时, $f(x)=x+2$. 则 $f(2022)=$
$A.$ $-1$ $B.$ $1$ $C.$ $2$ $D.$ $-2$
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答案:
D

解析:

$\because$ 函数 $y=f(x+1)$ 的图关于直线 $x=-3$ 对称,
$\therefore$ 函数 $y=f(x)$ 的图关于直线 $x=-2$ 对称,
$\therefore f(-2+x)=f(-2-x)$.
$\because$ 对 $\forall x \in \mathbf{R}$ 有 $f(x)+f(-x)=2$,
$\therefore$ 函数 $y=f(x)$ 的图象关于 $(0,1)$ 中心对称,
$\therefore f(-2+x+2)=f[-2-(x+2)]$, 即 $f(x)=f(-4-x)=2-f(-x)$.
又 $\because f(-4-x)+f(x+4)=2$, 即 $f(-4-x)=2-f(x+4)$,
$\therefore f(x+4)=f(-x)$,
$\therefore f[(x+4)+4]=f[-(x+4)]=f(x)$, 即 $f(x+8)=f(x)$,
$\therefore f(x)$ 的周期 $T=8, \therefore f(2022)=f(252 \times 8+6)=f(6)=f(2+4)=f(-2)=2-f(2)=2-(2+2)=-2$.
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