【ID】2098 【题型】解答题 【类型】模拟考试 【来源】2023届皖南八校高三开学考试
已知椭圆 $M: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_1, F_2$, 且左焦点坐标为 $(-\sqrt{2}, 0), P$ 为 椭圆上的一个动点, $\angle F_1 P F_2$ 的最大值为 $\frac{\pi}{2}$.
(1)求椭圆 $M$ 的标准方程;
(2) 若过点 $(-2,-4)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $M$ 交于 $A, B$ 两点, 点 $N(2,0)$, 记直线 $N A$ 的斜率为 $k_1$, 直线 NB 的斜率为 $k_2$, 证明: $\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=1$.
答案:
(1) 解:由题意可知 $c=\sqrt{2}$, 当点 $P$ 在上、下顶点时, $\angle F_1 P F_2$ 最大, 则 $b=c=\sqrt{2}$,
由 $a^2=b^2+c^2$ 得 $a^2=4$, 所以栯圆 $M$ 的标准方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$.


(2) 证明 : 设直线 $l$ 的方䅣为 $m(x-2)+n y=1, A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$,
由椭圆 $M$ 的方程 $x^2+2 y^2=4$, 得 $(x-2)^2+2 y^2=-4(x-2)$.
联立直线 $l$ 的方程与椭圆方程, 得 $(x-2)^2+2 y^2=-4(x-2)[m(x-2)+n y]$,
即 $(1+4 m)(x-2)^2+4 n(x-2) y+2 y^2=0,(1+4 m)\left(\frac{x-2}{y}\right)^2+4 n\left(\frac{x-2}{y}\right)+2=0$,
所以 $\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=\frac{x_1-2}{y_1}+\frac{x_2-2}{y_2}=-\frac{4 n}{1+4 m}$.
因为直线 $l$ 过定点 $(-2,-4)$, 所以 $m+n=-\frac{1}{4}$, 代人 $\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$,
得 $\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=\frac{x_1-2}{y_1}+\frac{x_2-2}{y_2}=-\frac{4 n}{1+4 m}=\frac{1+4 m}{1+4 m}=1$.

解析:

视频讲解

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