已知椭圆 $M: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点为 $F_1, F_2$, 且左焦点坐标为 $(-\sqrt{2}, 0), P$ 为 椭圆上的一个动点, $\angle F_1 P F_2$ 的最大值为 $\frac{\pi}{2}$.
(1)求椭圆 $M$ 的标准方程;
(2) 若过点 $(-2,-4)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $M$ 交于 $A, B$ 两点, 点 $N(2,0)$, 记直线 $N A$ 的斜率为 $k_1$, 直线 NB 的斜率为 $k_2$, 证明: $\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=1$.